Совет 1: Как найти векторное произведение векторов

Векторное произведение является одним из ключевых понятий векторного анализа. В физике различные величины находятся путем векторного произведения двух других величин. Осуществлять векторные произведения и преобразования на его основе нужно очень аккуратно, соблюдая основные правила.
Вам понадобится
  • направления и длины двух векторов
Инструкция
1
Векторное произведение вектора a на вектор b в трехмерном пространстве записывается в виде c = [ab]. При этом вектор с должен удовлетворять ряду требований.
2
Длина вектора с равна произведению длин векторов a и b на синус угла между ними: |с| = |a||b|*sin(a^b).
Вектор с ортогонален вектору a и ортогонален вектору b.
Тройка векторов abc является правой.
3
Из этих правил видно, что если векторы a и b параллельны или лежат на одной прямой, то их векторное произведение равно нулевому вектору, так как синус угла между ними равен нулю. В случае перпендикулярности векторов a и b векторы a,b и c будут перпендикулярны друг другу и их можно представить лежащими на осях прямоугольной декартовой системы координат.
4
Исходя из того, что тройка векторов abc является правой, направление вектора c можно найти по правилу правой руки. Сожмите руку в кулак, а затем направьте указательный палец вперед по направлению вектора a. Средний палец направьте по направлению вектора b. Тогда большой палец, направленный вверх, перпендикулярно указательному и среднему пальцу будет указывать направление вектора с.

Совет 2: Как найти уравнение плоскости по трем точкам

Составление уравнения плоскости по трем точкам основывается на принципах векторной и линейной алгебры, использующих понятие коллинеарности векторов и также векторные приемы построения геометрических линий.
Вам понадобится
  • учебник по геометрии, лист бумаги, карандаш
Инструкция
1
Откройте учебник по геометрии на главе «Векторы» и повторите основные принципы векторной алгебры. Для построения плоскости по трем точкам потребуется знание таких тем, как линейное пространство, ортонормированный базис, коллинеарность векторов, а также понимание принципов линейной алгебры.
2
Вспомните, что через три заданные точки, если они не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость. Это означает, что наличие трех конкретных точек в линейном пространстве уже однозначно определяет единственную плоскость.
3
Задайте в трехмерном пространстве три точки, имеющие различные координаты: x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3. Будет использоваться общее уравнение плоскости, подразумевающее известность какой-либо одной точки, например, точки с координатами x1,y1,z1, а также знание координат нормального к данной плоскости вектора. Таким образом, общий принцип построения плоскости будет заключаться в том, что скалярное произведение любого вектора, лежащего в плоскости, и нормального вектора должно быть равно нулю. Отсюда и получается общее уравнение плоскости a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0, где коэффициенты a, b и c – это компоненты вектора, перпендикулярного плоскости.
4
В качестве вектора, лежащего в самой плоскости, можете взять любой вектор, построенный на любых двух точках из тех трех, что известны изначально. Координаты данного вектора будут иметь вид (x2-x1), (y2-y1), (z2-z1). Соответствующий вектор можно назвать m2m1.
5
Определите нормальный вектор n посредством векторного произведения двух векторов, лежащих в данной плоскости. Как известно, векторное произведение двух векторов – это всегда вектор, перпендикулярный обоим векторам, по которым он строится. Таким образом, можно получить новый вектор, перпендикулярный всей плоскости. В качестве двух векторов, лежащих в плоскости, можно взять любой из векторов m3m1, m2m1, m3m2, построенных по тому же принципу, что и вектор m2m1.
6
Найдите векторное произведение векторов, лежащих в одной плоскости, определив таким образом нормальный вектор n. Помните, что векторное произведение – это, фактически, определитель второго порядка, первая строка которого содержит орты i, j, k, вторая строка – компоненты первого вектора векторного произведения, а третья – компоненты второго вектора. Раскрыв определитель, вы получите компоненты вектора n, то есть a, b и с, которые и задают плоскость.
Видео по теме
Обратите внимание
Нельзя путать векторное произведение со скалярным! В результате векторного произведения получается вектор, в результате скалярного - скаляр, как следует из названия.
Полезный совет
Векторное произведение является антикоммутативным, то есть [ab] = -[ba]. То есть порядок следования векторов в квадратных скобках очень важен!
Источники:
  • Векторное произведение и его свойства
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500