Совет 1: Как найти вектор, перпендикулярный данному

В геометрии вектор определяется как упорядоченная пара точек, одну из которых считают его началом, другую - концом. В начертательной геометрии построить вектор, перпендикулярный заданному, можно с помощью транспортира отмерив нужный угол и начертив соответствующий отрезок. В аналитической геометрии для вычисления координат такого направленного отрезка придется задействовать правила скалярных операций с векторами.
Инструкция
1
Если исходный вектор изображен на чертеже в прямоугольной двухмерной системе координат и перпендикулярный ему нужно построить там же, исходите из определения перпендикулярности векторов на плоскости. Оно гласит, что угол между такой парой направленных отрезков должен быть равен 90°. Таких векторов можно построить бесконечное множество. Поэтому начертите в любом удобном месте плоскости перпендикуляр к исходному вектору, отложите на нем отрезок, равный длине заданной упорядоченной пары точек и назначьте один из его концов началом перпендикулярного вектора. Сделайте это с помощью транспортира и линейки.
2
Если же исходный вектор задан двухмерными координатами ā = (X₁;Y₁), исходите из того, что скалярное произведение пары перпендикулярных векторов должно быть равно нулю. Это значит, что вам надо подобрать для искомого вектора ō = (X₂,Y₂) такие координаты, при которых будет выполняться равенство (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0. Это можно сделать так: выберите любое ненулевое значение для координаты X₂, а координату Y₂ рассчитайте по формуле Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Например, для вектора ā = (15;5) перпендикулярным будет вектор ō, с абсциссой, равной единице, и ординатой, равной -(15*1)/5 = -3, т.е. ō = (1;-3).
3
Для трехмерной и любой другой ортогональной системы координат верно то же самое необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов - их скалярное произведение должно быть равно нулю. Поэтому, если исходный направленный отрезок задан координатами ā = (X₁,Y₁,Z₁), подберите для перпендикулярной ему упорядоченной пары точек ō = (X₂,Y₂,Z₂) такие координаты, при которых выполняется условие (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Проще всего присвоить координатам X₂ и Y₂ единичные значения, а Z₂ рассчитать из упростившегося равенства Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁*1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/Z₁. Например, для вектора ā = (3,5,4) эта формула приобретет такой вид: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Тогда абсциссу и ординату перпендикулярного вектора примите за единицу, а аппликата в этом случае будет равна -(3+5)/4 = -2.

Совет 2: Как найти перпендикулярный вектор

Перпендикулярными называются вектора, угол между которыми составляет 90º. Перпендикулярные вектора строятся при помощи чертежных инструментов. Если известны их координаты, то проверить или найти перпендикулярность векторов можно аналитическими методами.
Вам понадобится
  • - транспортир;
  • - циркуль;
  • - линейка.
Инструкция
1
Постройте вектор перпендикулярный данному. Для этого в точке, которая является началом вектора, восстановите к нему перпендикуляр. Это можно сделать при помощи транспортира, отложив угол 90º. Если транспортира нет, сделайте это циркулем.
2
Установите его в точку начала вектора. Проведите окружность произвольным радиусом. Затем постройте две окружности с центрами в точках, где первая окружность пересекла прямую, на которой лежит вектор. Радиусы этих окружностей должны быть равны между собой и больше радиуса первой построенной окружности. На точках пересечения окружностей постройте прямую, которая будет перпендикулярна исходному вектору в точке его начала, и отложите на ней вектор, перпендикулярный данному.
3
Определите перпендикулярность двух произвольных векторов. Для этого с помощью параллельного переноса постройте их так, чтобы они исходили из одной точки. Измерьте угол между ними, при помощи транспортира. Если он равен 90º, то вектора перпендикулярны.
4
Найдите вектор, перпендикулярный тому, координаты которого известны и равны (x;y). Для этого найдите такую пару чисел (x1;y1), которая удовлетворяла бы равенству x•x1+y•y1=0. В этом случае вектор с координатами (x1;y1) будет перпендикулярен вектору с координатами (x;y).
5
ПримерНайдите вектор, перпендикулярный вектору с координатами (3;4). Используйте свойство перпендикулярных векторов. Подставив в него координаты вектора, получите выражение 3•x1+4•y1=0. Подберите пары чисел, которые делают это тождество верным. Например, пара чисел x1=-4; y1=3 делает тождество верным. Значит, вектор с координатами (-4;3) будет перпендикулярен данному. Таких пар чисел можно подобрать бесконечное множество, а потому и векторов тоже бесконечно много.
6
Проверяйте перпендикулярность векторов при помощи тождества x•x1+y•y1=0, где (x;y) и (x1;y1) координаты двух векторов. Например, вектора с координатами (3;1) и (-3;9) перпендикулярны, так как 3•(-3)+1•9=0.
Источники:
  • перпендикулярные векторы
Источники:
  • найти вектор если он перпендикулярный
Поиск
ВАЖНО! Проблемы сердца сильно "помолодели". Потратьте 3 минуты на просмотр ролика. Защитите себя и близких от страшных проблем.
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500