Совет 1: Как найти область определения функции

Чтобы найти область определения функции, нужно вычислить границы одного или нескольких интервалов, содержащих точки, в которых она имеет смысл. Это первое действие при решении задач на математический анализ поведения функций.
Инструкция
1
Задание любой функции – это указание правила, по которому связаны друг с другом элементы двух множеств. Первое называется областью определения функции. Это такие допустимые значения ее аргумента, которые соответствуют определенным элементам второго множества, области значений функции.
2
Считается, что функция задана, если известны оба этих множества. Иногда областью определения является бесконечный интервал (-∞; +∞), но в большинстве случае присутствуют некоторые ограничения, которые накладываются составляющими элементами выражения функции. Например, в ней могут присутствовать такие математические понятия, как корень, степень, логарифмическая или тригонометрическая подфункция и пр.
3
Алгоритм нахождения области определения функции состоит из трех этапов: определение типа или типов ограничений, составление и решение соответствующих неравенств, запись интервала или интервалов допустимых значений аргумента.
4
Существует шесть типов подфункций, присутствие которых в основном выражении может наложить ограничение на область ее определения. Это подкоренное выражение, степенная функция, логарифм, выражение под чертой дроби и некоторые тригонометрические функции.
5
Запишите неравенства согласно выявленным ограничениям:- функция под знаком корня, т.е. в дробной степени с четным числом в знаменателе: f(х) ≥ 0;- функция в степени показателя другой функции того же аргумента: f(х) > 0;- логарифм log_а f(х): f(х) > 0;- отношение двух функций f(х)/g(х): g(х) ≠ 0;- tg f(х) и сtg f(х): f(х) ≠ π•k + π/2;- аrсsin f(х) и arccos f(х): -1 ≤ f(х) ≤ 1.
6
Решите неравенства и запишите интервал, закрытый или открытый в зависимости от того, являются ли его границы выколотыми точками или принадлежат области определения. Об этом говорят обозначения: квадратная скобка означает вхождение в интервал, а круглая - исключение. Например, если область задана интервалом (1; 3], то для ее элементов выполняется двойное неравенство 1 < х ≤ 3.

Совет 2: Как определить область определения функции

Все операции с функцией можно производить только в том множестве, где она определена. Поэтому при исследовании функции и построения ее графика первую роль играет нахождение области определения.
Инструкция
1
Для того чтобы найти область определения функции, нужно обнаружить «опасные зоны», то есть такие значения x, при которых функция не существует и затем исключить их из множества вещественных чисел. На что же стоит обратить внимание?
2
Если функция имеет вид y=g(x)/f(x), решите неравенство f(x)≠0, потому что знаменатель дроби не может быть равен нулю. Например, y=(x+2)/(x−4), x−4≠0. То есть областью определения будет множество (-∞; 4)∪(4; +∞).
3
Когда при определении функции присутствует корень четной степени, решите неравенство, где значение под корнем будет больше или равно нуля. Корень четной степени может быть взят только из неотрицательного числа. Например, y=√(x−2), значит x−2≥0. Тогда областью определения является множество [2; +∞).
4
Если функция содержит логарифм, решите неравенство, где выражение под логарифмом должно быть больше нуля, потому что область определения логарифма только положительные числа. Например, y=lg(x+6), то есть x+6>0 и область определения будет (-6; +∞).
5
Стоит обратить внимание, если функция содержит тангенс или котангенс. Область определения функции tg(x) все числа, кроме x=Π/2+Π*n, ctg(x) – все числа, кроме x=Π*n, где n принимает целые значения. Например, y=tg(4*x), то есть 4*x≠Π/2+Π*n. Тогда область определения (-∞; Π/8+Π*n/4)∪(Π/8+Π*n/4; +∞).
6
Помните, что обратные тригонометрические функции - арксинус и арккосинус, определены на отрезке [-1; 1], то есть если y=arcsin(f(x)) или y=arccos(f(x)), нужно решить двойное неравенство -1≤f(x)≤1. Например, y=arccos(x+2), -1≤x+2≤1. Областью определения будет отрезок [-3; -1].
7
Наконец, если задана комбинация различных функций, то область определения представляет собой пересечение областей определения всех этих функций. Например, y=sin(2*x)+x/√(x+2)+arcsin(x−6)+lg(x−6). Сначала найдите область определения всех слагаемых. Sin(2*x) определен на всей числовой прямой. Для функции x/√(x+2) решите неравенство x+2>0 и область определения будет (-2; +∞). Область определения функции arcsin(x−6) задается двойным неравенством -1≤x-6≤1, то есть получается отрезок [5; 7]. Для логарифма имеет место неравенство x−6>0, а это есть интервал (6; +∞). Таким образом, областью определения функции будет множество (-∞; +∞)∩(-2; +∞)∩[5; 7]∩(6; +∞), то есть (6; 7].
Видео по теме
Источники:
  • область определения функции с логарифмом
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500