Совет 1: Как найти угол между двумя векторами в 2018 году

Угол между двумя векторами, выходящими из одной точки, это кратчайший угол, на который необходимо повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения второго вектора. Определить градусную меру этого угла можно, если известны координаты векторов.
Как найти угол между двумя векторами
Инструкция
1
Пусть на плоскости заданы два ненулевых вектора, отложенные от одной точки: вектор A с координатами (x1, y1) и вектор B с координатами (x2, y2). Угол между ними обозначен как θ. Чтобы найти градусную меру угла θ необходимо воспользоваться определением скалярного произведения.
2
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, то есть (A,B)=|A|*|B|*cos(θ). Теперь нужно выразить из данной записи косинус угла: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).
3
Скалярное произведение можно найти также по формуле (A,B)=x1*x2+y1*y2, так как скалярное произведение двух ненулевых векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов. Если скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, то векторы являются перпендикулярными (угол между ними равен 90 градусов) и дальнейшие вычисления можно не производить. Если скалярное произведение двух векторов положительно, то угол между этими векторами острый, а если отрицательно, то угол тупой.
4
Теперь посчитайте длины векторов A и B по формулам: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Длина вектора вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат.
5
Найденные значения скалярного произведения и длин векторов подставьте в полученную в шаге 2 формулу для нахождения косинуса угла, то есть cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+y1²)+√(x2²+y2²)). Теперь, зная значение косинуса, чтобы найти градусную меру угла между векторами нужно воспользоваться таблицей Брадиса или взять из этого выражения арккосинус: θ=arccos(cos(θ)).
6
Если векторы A и B заданы в трехмерном пространстве и имеют координаты (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) соответственно, то при нахождении косинуса угла добавляется еще одна координата. В этом случае косинус угла равен: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).
Полезный совет
Если два вектора отложены не от одной точки, то для нахождения угла между ними параллельным переносом нужно совместить начала этих векторов.
Угол между двумя векторами не может быть больше 180 градусов.
Источники:
  • как вычислить угол между векторами
  • Угол между прямой и плоскостью

Совет 2: Как вычислить угол между векторами

Для решения многих задач, как прикладных, так и теоретических, в физике и линейной алгебре необходимо вычислять угол между векторами. Эта простая на первый взгляд задача способна доставить множество трудностей, если вы четко не усвоите сущность скалярного произведения и какая величина появляется в результате этого произведения.
Как вычислить угол между векторами
Инструкция
1
Угол между векторами в векторном линейном пространстве – минимальный угол при повороте, на который достигается сонаправленность векторов. Осуществляется поворот одного из векторов вокруг его начальной точки. Из определения становится очевидно, что значение угла не может превышать 180 градусов (cм. рисунок к шагу).
2
При этом совершенно справедливо предполагается, что в линейном пространстве при осуществлении параллельного переноса векторов угол между ними не меняется. Поэтому для аналитического расчета угла пространственная ориентация векторов не имеет значения.
3
При нахождении угла используйте определение скалярного произведения для векторов. Данная операция обозначается следующим образом (см. рисунок к шагу).
4
Результат скалярного произведения – число, иначе скаляр. Запомните (это важно знать), чтобы не допустить в дальнейших расчетах ошибок. Формула скалярного произведения, расположенных на плоскости либо в пространстве векторов, имеет вид (см. рисунок к шагу).
5
Это выражение справедливо только для ненулевых векторов. Отсюда выразите угол между векторами (см. рисунок к шагу).
6
Если система координат, в которой располагаются векторы, является декартовой, то выражение для определения угла можно переписать в следующем виде (см. рисунок к шагу).
7
Если вектора располагаются в пространстве, то расчет производите аналогичным способом. Единственным отличием будет появление третьего слагаемого в делимом - это слагаемое отвечает за аппликату, т.е. третью компоненту вектора. Соответственно, при вычислении модуля векторов компоненту z также необходимо учесть, тогда для векторов, расположенных в пространстве, последнее выражение преобразуется следующим образом (см. рисунок 6 к шагу).

Совет 3: Как найти синус угла между векторами

Вектор в многомерном евклидовом пространстве задается координатами своей начальной точки и точки, определяющей его величину и направление. Различие между направлениями двух таких векторов определяется величиной угла. Часто в разного рода задачах из области физики и математики предлагается найти не сам этот угол, а величину производной от него тригонометрической функции - синуса.
Как найти синус угла между векторами
Инструкция
1
Используйте для определения синуса угла между двумя векторами известные формулы скалярного умножения векторов. Таких формул существует, как минимум, две. В одной из них в качестве переменной задействован косинус нужного угла, узнав который вы сможете вычислить и синус.
2
Составьте равенство и вычлените из него косинус. По одной формуле скалярное произведение векторов равно их длинам, перемноженным друг на дружку и на косинус угла, а по другой - сумме произведений координат вдоль каждой из осей. Приравняв обе формулы можно сделать вывод, что косинус угла должен быть равен отношению суммы произведений координат к произведению длин векторов.
3
Запишите полученное равенство. Для этого надо обозначить координаты обоих векторов. Допустим, они даны в трехмерной декартовой системе и их начальные точки перенесены в начало координатной сетки. Направление и величина первого вектора будет задана точкой (X₁,Y₁,Z₁), второго - (X₂,Y₂,Z₂), а угол обозначьте буквой γ. Тогда длины каждого из векторов можно высчитать, например, по теореме Пифагора для треугольников, образуемых их проекциями на каждую из координатных осей: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) и √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Подставьте эти выражения в сформулированную на предыдущем шаге формулу и вы получите такое равенство: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √( X₂² + Y₂² + Z₂²)).
4
Используйте тот факт, что сумма возведенных в квадрат значений синуса и косинуса от угла одной величины всегда дает единицу. Значит, возведя полученное на предыдущем шаге выражение для косинуса в квадрат и отняв от единицы, а затем найди квадратный корень, вы решите задачу. Запишите нужную формулу в общем виде: sin(γ) = √(1-cos(γ)²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √( X₂² + Y₂² + Z₂²))²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂)² / ((X₁² + Y₁² + Z₁²) * ( X₂² + Y₂² + Z₂²))).
Видео по теме
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500