Совет 1: Как найти угол между двумя векторами в 2017 году

Угол между двумя векторами, выходящими из одной точки, это кратчайший угол, на который необходимо повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения второго вектора. Определить градусную меру этого угла можно, если известны координаты векторов.
Инструкция
1
Пусть на плоскости заданы два ненулевых вектора, отложенные от одной точки: вектор A с координатами (x1, y1) и вектор B с координатами (x2, y2). Угол между ними обозначен как θ. Чтобы найти градусную меру угла θ необходимо воспользоваться определением скалярного произведения.
2
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, то есть (A,B)=|A|*|B|*cos(θ). Теперь нужно выразить из данной записи косинус угла: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).
3
Скалярное произведение можно найти также по формуле (A,B)=x1*x2+y1*y2, так как скалярное произведение двух ненулевых векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов. Если скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, то векторы являются перпендикулярными (угол между ними равен 90 градусов) и дальнейшие вычисления можно не производить. Если скалярное произведение двух векторов положительно, то угол между этими векторами острый, а если отрицательно, то угол тупой.
4
Теперь посчитайте длины векторов A и B по формулам: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Длина вектора вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат.
5
Найденные значения скалярного произведения и длин векторов подставьте в полученную в шаге 2 формулу для нахождения косинуса угла, то есть cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+y1²)+√(x2²+y2²)). Теперь, зная значение косинуса, чтобы найти градусную меру угла между векторами нужно воспользоваться таблицей Брадиса или взять из этого выражения арккосинус: θ=arccos(cos(θ)).
6
Если векторы A и B заданы в трехмерном пространстве и имеют координаты (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) соответственно, то при нахождении косинуса угла добавляется еще одна координата. В этом случае косинус угла равен: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Совет 2: Как вычислить угол между векторами

Для решения многих задач, как прикладных, так и теоретических, в физике и линейной алгебре необходимо вычислять угол между векторами. Эта простая на первый взгляд задача способна доставить множество трудностей, если вы четко не усвоите сущность скалярного произведения и какая величина появляется в результате этого произведения.
Инструкция
1
Угол между векторами в векторном линейном пространстве – минимальный угол при повороте, на который достигается сонаправленность векторов. Осуществляется поворот одного из векторов вокруг его начальной точки. Из определения становится очевидно, что значение угла не может превышать 180 градусов (cм. рисунок к шагу).
2
При этом совершенно справедливо предполагается, что в линейном пространстве при осуществлении параллельного переноса векторов угол между ними не меняется. Поэтому для аналитического расчета угла пространственная ориентация векторов не имеет значения.
3
При нахождении угла используйте определение скалярного произведения для векторов. Данная операция обозначается следующим образом (см. рисунок к шагу).
4
Результат скалярного произведения – число, иначе скаляр. Запомните (это важно знать), чтобы не допустить в дальнейших расчетах ошибок. Формула скалярного произведения, расположенных на плоскости либо в пространстве векторов, имеет вид (см. рисунок к шагу).
5
Это выражение справедливо только для ненулевых векторов. Отсюда выразите угол между векторами (см. рисунок к шагу).
6
Если система координат, в которой располагаются векторы, является декартовой, то выражение для определения угла можно переписать в следующем виде (см. рисунок к шагу).
7
Если вектора располагаются в пространстве, то расчет производите аналогичным способом. Единственным отличием будет появление третьего слагаемого в делимом - это слагаемое отвечает за аппликату, т.е. третью компоненту вектора. Соответственно, при вычислении модуля векторов компоненту z также необходимо учесть, тогда для векторов, расположенных в пространстве, последнее выражение преобразуется следующим образом (см. рисунок 6 к шагу).

Совет 3: Как найти угол между векторами

Вектор - это отрезок с заданным направлением. Угол между векторами имеет физическое значение, например при нахождении длины проекции вектора на ось.
Инструкция
1
Угол между двумя ненулевыми векторами определяется с помощью вычисления скалярного произведения. По определению скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними. С другой стороны, скалярное произведение для двух векторов a с координатами (x1; y1) и b с координатами (x2; y2) вычисляется по формуле: ab = x1x2 + y1y2. Из этих двух способов нахождения скалярного произведения легко найти угол между векторами.
2
Найдите длины или модули векторов. Для наших векторов a и b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.
3
Найдите скалярное произведение векторов, перемножив их координаты попарно: ab = x1x2 + y1y2. Из определения скалярного произведения ab = |a|*|b|*cos α, где α - угол между векторами. Тогда получим, что x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Тогда cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.
4
Найдите угол α с помощью таблиц Брадиса.
5
В случае трехмерного пространства добавляется третья координата. Для векторов a (x1; y1; z1) и b (x2; y2; z2) формула для косинуса угла представлена на рисунке.
Как найти угол между векторами
Видео по теме
Обратите внимание
Скалярное произведение - это скалярная характеристика длин векторов и угла между ними.

Совет 4: Как найти угол между плоскостями

Плоскость – одно их исходных понятий в геометрии. Плоскостью называется поверхность, для которой верно утверждение - любая прямая, соединяющая две ее точки, целиком принадлежит этой поверхности. Плоскости принято обозначать греческими буквами α, β, γ и т.д. Две плоскости всегда пересекаются по прямой линии, которая принадлежит обеим плоскостям.
Инструкция
1
Рассмотрим полуплоскости α и β образованные при пересечении двух плоскостей. Угол, образованный прямой a и двумя полуплоскостями α и β называется двугранным углом. При этом полуплоскости образующие двугранный угол называются гранями, прямая a по которой пересекаются плоскости называется ребром двугранного угла.
Как найти угол между плоскостями
2
Двугранный угол, как и плоский угол, измеряется в градусах. Чтобы измерить двугранный угол необходимо на его грани выбрать произвольную точку O. В обеих плоскостях через точку O проводятся два луча перпендикулярно ребру a. Образованный угол AOB называется линейным углом двугранного угла с ребром a.

Таким образом, для измерения угла между двумя пересекающимися плоскостями α и β необходимо измерить линейный угол ∠AOB.
Как найти угол между плоскостями

Совет 5: Как найти косинус угла между векторами

Вектором в геометрии называют направленный отрезок или упорядоченную пару точек евклидова пространства. Длиной вектора — скаляр, равный арифметическому квадратному корню из суммы квадратов координат (компонент) вектора.
Вам понадобится
  • Базовые знания по геометрии и алгебре.
Инструкция
1
Косинус угла между векторами находят из их скалярного произведения. Сумма произведения соответствующих координат вектора равна произведению их длин на косинус угла между ними. Пусть даны два вектора: a(x1, y1) и b(x2, y2). Тогда скалярное произведение можно записать в виде равенства: x1*x2 + y1*y2 = |a|*|b|*cos(U), где U - угол между векторами.

Например, координаты вектора a(0, 3), а вектора b(3, 4).
2
Выражая из полученного равенства cos(U) получается, что cos(U) = (x1*x2 + y1*y2)/(|a|*|b|). В примере формула после подстановки известных координат примет вид: cos(U) = (0*3 + 3*4)/(|a|*|b|) или cos(U) = 12/(|a|*|b|).
3
Длина векторов находится по формулам: |a| = (x1^2 + y1^2)^1/2, |b| = (x2^2 + y2^2)^1/2. Подставив в качестве координат векторов a(0, 3), b(3, 4) получается, соответственно, |a|=3, |b|=5.
4
Подставляя полученные значения в формулу cos(U) = (x1*x2 + y1*y2)/(|a|*|b|), найдите ответ. Пользуясь найденными длинами векторов, получите, что косинус угла между векторами a(0, 3), b(3, 4) равен: cos(U) = 12/15.
Обратите внимание
Если все посчитано правильно, косинус угла должен быть меньше единицы. Также длины векторов не могут принимать отрицательные значения.
Полезный совет
Если длина одного из векторов равна нулю, значит это нулевой вектор, и тогда угол между ним и другим вектором равен 90 градусов.
Источники:
  • как найти cos b

Совет 6: Как найти угол между вектором и плоскостью

Вектор – направленный отрезок прямой, имеющий определенную длину. В пространстве он задается тремя проекциями на соответствующие оси. Можно найти угол между вектором и плоскостью, если она представлена координатами своей нормали, т.е. общим уравнением.
Инструкция
1
Плоскость – это основная пространственная фигура геометрии, которая участвует в построении всех двухмерных и трехмерных форм, таких как треугольник, квадрат, параллелепипед, призма, окружность, эллипс и т.д. В каждом конкретном случае она ограничивается определенным набором линий, которые, пересекаясь, образуют замкнутую фигуру.
2
В общем же виде плоскость не ограничивается ничем, она простирается по разные стороны от своей образующей прямой. Это плоская бесконечная фигура, которая, тем не менее, может быть задана уравнением, т.е. конечными числами, которые являются координатами ее нормального вектора.
3
Исходя из вышесказанного, можно найти угол между любым вектором и плоскостью, используя формулу косинуса угла между двумя векторами. Направленные отрезки могут быть расположены в пространстве как угодно, однако каждый вектор обладает таким свойством, что его можно перемещать без потери основных характеристик, направления и длины. Этим и нужно воспользоваться, чтобы рассчитать угол между отстоящими векторами, поместив их зрительно в одну начальную точку.
4
Итак, пусть задан вектор V = (а, b, с) и плоскость А•x + В•y + C•z = 0, где А, В и C – координаты нормали N. Тогда косинус угла α между векторами V и N равен:сos α = (а•А + b•В + с•C)/(√(а² + b² + с²)•√(А² + В² + C²)).
5
Чтобы вычислить величину угла в градусах или радианах, нужно от получившегося выражения рассчитать функцию, обратную к косинусу, т.е. арккосинус:α = аrссos ((а•А + b•В + с•C)/(√(а² + b² + с²)•√(А² + В² + C²))).
6
Пример: найдите угол между вектором (5, -3, 8) и плоскостью, заданной общим уравнением 2•x – 5•y + 3•z = 0.Решение: выпишите координаты нормального вектора плоскости N = (2, -5, 3). Подставьте все известные значения в приведенную формулу:сos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.
Видео по теме

Совет 7: Как найти градусную меру угла

Измерение величин плоских углов в градусах придумали в древнем Вавилоне задолго до начала нашей эры. Жители этого государства предпочитали шестидесятеричную систему исчисления, поэтому деление углов на 180 или 360 единиц сегодня выглядит немного странно. Впрочем, предлагаемые в современной системе СИ единицы измерения, кратные числу Пи, не мене странны. Этими двумя вариантами не ограничиваются используемые сегодня обозначения углов, поэтому задача перевода их величин в градусную меру возникает достаточно часто.
Инструкция
1
Если в градусную меру нужно перевести величину угла в радианах, исходите из того, что одному градусу соответствует число радиан, равное 1/180 доле числа Пи. Эта математическая константа имеет бесконечное число знаков после запятой, поэтому и коэффициент перевода из радиан в градусы тоже является бесконечной десятичной дробью. Это означает, что абсолютно точного значения в формате десятичной дроби получить не получится, поэтому коэффициент перевода нужно округлить. Например, при точности в одну миллиардную долю единицы расчетный коэффициент будет равен 0,017453293. После округления до нужного числа знаков, разделите на этот коэффициент исходное число радиан, и вы получите градусную меру угла.
2
При решении математических задач из разделов, относящихся к геометрии, часто встречаются формулы, в которых величины углов выражены не радианами, а долями числа Пи. Если вы получите решение, содержащее эту константу, для перевода его в градусы замените π числом 180. Например, если центральный угол определен выражением π/4, это означает, что его градусная мера равна 180°/4=45°.
3
Углы могут быть выражены и единицами, которые имеют название «оборот». Такая единица соответствует 360°, поэтому проблем с пересчетом возникнуть не должно. Например, если в задании говорится об угле в полтора оборота, это соответствует 360*1,5=540° в градусном измерении.
4
Иногда в геометрических задачах упоминается развернутый угол. Она образуется двумя лучами противоположного направления, то есть лежащими на одной прямой. Используйте число 180 для выражения величины развернутого угла в градусах.
5
В геодезии, картографии, астрономии градусы делятся на еще более мелкие единицы, которые имеют собственные названия - минуты и секунды. Это деление имеет корни там же, где и градусы, поэтому каждый градус включает в себя 60 минут или 3600 секунд. Используйте эти числа, если секунды и минуты надо заменить десятыми долями градуса. Например, углу в 11°14'22" соответствует десятичная дробь, приблизительно равная 11 + 14/60 + 22/3600 ≈ 11,2394°.
Источники:
  • угол 5 градусов

Совет 8: Как найти синус угла между векторами

Вектор в многомерном евклидовом пространстве задается координатами своей начальной точки и точки, определяющей его величину и направление. Различие между направлениями двух таких векторов определяется величиной угла. Часто в разного рода задачах из области физики и математики предлагается найти не сам этот угол, а величину производной от него тригонометрической функции - синуса.
Инструкция
1
Используйте для определения синуса угла между двумя векторами известные формулы скалярного умножения векторов. Таких формул существует, как минимум, две. В одной из них в качестве переменной задействован косинус нужного угла, узнав который вы сможете вычислить и синус.
2
Составьте равенство и вычлените из него косинус. По одной формуле скалярное произведение векторов равно их длинам, перемноженным друг на дружку и на косинус угла, а по другой - сумме произведений координат вдоль каждой из осей. Приравняв обе формулы можно сделать вывод, что косинус угла должен быть равен отношению суммы произведений координат к произведению длин векторов.
3
Запишите полученное равенство. Для этого надо обозначить координаты обоих векторов. Допустим, они даны в трехмерной декартовой системе и их начальные точки перенесены в начало координатной сетки. Направление и величина первого вектора будет задана точкой (X₁,Y₁,Z₁), второго - (X₂,Y₂,Z₂), а угол обозначьте буквой γ. Тогда длины каждого из векторов можно высчитать, например, по теореме Пифагора для треугольников, образуемых их проекциями на каждую из координатных осей: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) и √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Подставьте эти выражения в сформулированную на предыдущем шаге формулу и вы получите такое равенство: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √( X₂² + Y₂² + Z₂²)).
4
Используйте тот факт, что сумма возведенных в квадрат значений синуса и косинуса от угла одной величины всегда дает единицу. Значит, возведя полученное на предыдущем шаге выражение для косинуса в квадрат и отняв от единицы, а затем найди квадратный корень, вы решите задачу. Запишите нужную формулу в общем виде: sin(γ) = √(1-cos(γ)²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √( X₂² + Y₂² + Z₂²))²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂)² / ((X₁² + Y₁² + Z₁²) * ( X₂² + Y₂² + Z₂²))).
Видео по теме

Совет 9: Как определить угол между векторами

Операции с векторами нередко вызывают сложности у школьников. Несмотря на наличие ограниченного ряда формул, с которыми нужно оперировать, некоторые задачи вызывают сложности и проблемы с решением. В частности, не все учащиеся старших классов способны вычислить угол между векторами.
Инструкция
1
Обратите внимание на то, что вычисление угла между двумя любыми векторами сводится к нахождению такого между векторами, имеющими общую точку. Это часто вызывает непонимание, однако объясняется достаточно просто. Чтобы два лежащих в одной плоскости вектора начинались в одной точке, вам необходимо совершить операцию параллельного переноса. Но эта процедура никак не влияет на искомую величину.
2
Запомните общее определение угла между двумя векторами: это поможет вам сложить представление о том, что требуется в задаче. Ведь угол – это не цифры, а определенная реальность, обозначающая ту кратчайшую величину, на которую необходимо повернуть один вектор (относительно своей начальной точки) до сонаправленности со вторым. Важно учитывать, что искомая величина угла должна быть в пределах от нуля до 3,14 радиан.
3
Не забывайте, что если вы имеете дело с коллинеарными или параллельными векторами, величина угла составляет ноль градусов в случае их сонаправленности и 180 – для разнонаправленных векторов. Это следует из определения, так как вам необходимо повернуть второй вектор, чтобы поменять его направление.
4
Воспользуйтесь простой формулой, позволяющей быстро вычислить величину косинуса угла между векторами. Для этого вам необходимо знать соответствующие координаты. Косинус угла представляет собой дробь, в числителе которой стоит скалярное произведение векторов, а в знаменателе – произведение их модулей. Для нахождения первой величины для векторов с координатами а1, а2, а3 и с1, с2, с3, найдите сумму произведений а1с1, а2с2, а3с3. Модуль каждого вектора есть корень второй степени из суммы квадратов его координат.
5
Обратитесь к помощи электронных калькуляторов, которые по заданным параметрам векторов вычислят требуемый угол.
Видео по теме

Совет 10: Как вычислить угол между прямой и плоскостью

Прямая и плоскость – основные понятия геометрии. Эти двухмерная и трехмерная фигуры, которые являются основами для построения любых плоских и пространственных конструкций. Всегда можно вычислить угол между прямой и плоскостью по их уравнениям.
Инструкция
1
Прямая и плоскость – два взаимосвязанных геометрических понятия. Через любые две точки плоскости можно провести прямую линию, состоящую из ее же точек. А любая прямая принадлежит какой-либо плоскости. Любая фигура в геометрии – совокупность пересекающихся линий и ограниченных ими участков поверхности, от простейших треугольника и окружности до нестандартных выпуклых многоугольников и призм.
2
Для каждой прямой в пространстве можно найти проекцию на некоторую плоскость. Таким образом, можно вычислить угол между ними, как смежный к углу, образованному векторами направления и нормали. Например, пусть задано каноническое уравнение прямой L и общее уравнение плоскости P:

L: (х – х0)/p = (у – у0)/r = (z – z0)/s;
P: А•х + B•у + С•z + D = 0.
3
Коэффициенты этих уравнений – координаты вектора направления прямой и вектора нормали для плоскости. Тогда задача определения угла между прямой линией и ее проекцией сводится к поиску смежного угла между этими векторами. Смежный угол в данной ситуации составляет в сумме с искомым 90° или π/2. Найдите косинус угла (π/2 – α) по известной формуле:

cos (π/2 – α) = sin α = |p•А + r•B + s•C|/(√(p² + r² + s²)•√(А² + B² + C²)).
4
Частные случаи, когда этот угол равен 90° или 180°, являются доказательством их перпендикулярности или параллельности. Тогда:

• если А/p = B/r = С/s – прямая перпендикулярна плоскости;
• если А•р + B•r + С•s = 0 – прямая параллельна плоскости.
5
Пример: найти угол между прямой (х - 1)/4 = (у + 3)/-2 = (z - 8)/1 и плоскостью 5•х + 3•у – 4•z = 0.

Решение

Выпишите координаты вектора направления прямой – (4, -2, 1) и нормального вектора плоскости – (5, 3, -4). Подставьте все значения в формулу синуса угла:

sin α = |20 – 6 - 4|/(√(16 + 4 + 1)•√(25 + 9 + 16)) ≈ 0,3.
6
Вычислите арксинус получившейся величины, чтобы определить искомый угол α:

α = аrсsin 0,3 ≈ 17,46°.
Видео по теме
Полезный совет
Если два вектора отложены не от одной точки, то для нахождения угла между ними параллельным переносом нужно совместить начала этих векторов.
Угол между двумя векторами не может быть больше 180 градусов.
Источники:
  • как вычислить угол между векторами
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500