Совет 1: Как взять производную

Умение брать производную требуется от учеников средней школы, начиная с 9 класса. Много заданий на производные встречается в ЕГЭ по математике. От студентов высших учебных заведений тем более требуют брать любую производную. Это несложно, к тому же существует простой алгоритм взятия производных.
Определение производной - тангенс угла наклона касательной
Вам понадобится
  • Таблица основных производных
Инструкция
1
Сперва надо определить, к какому виду относится функция, производную которой ищем. Если это простая функция от одной переменной, тогда вычисляем ее по таблице производных, представленной на рисунке.
Таблица производных основных функций
2
Производная суммы некоторых функций f(x) и g(x) равна сумме производных этих функций.
3
Производная произведения функций f(x) и g(x) вычисляется как сумма произведений: производной первой функции на вторую функцию и производной второй функции на первую функцию, то есть: f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x), где штрихом показана операция взятия производной.
4
Производную частного можно вычислить по формуле (f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x))/(g(x)^2). Эту формулу просто запомнить - числитель почти идентичен производной от произведения (только вместо суммы разность), а в знаменателе - квадрат знаменателя исходной функции.
5
Самое сложное в операции дифференцирования - это взять производную сложной функции, то есть f(g(x)). В данном случае мы должны будем сперва брать производную от внешней функции, не обращая внимания на вложенную. То есть, считаем g(x) аргументом. Затем вычислим производную вложенной функции и домножим ее на предшествующую вычисленную производную по сложному аргументу.
Видео по теме
Полезный совет
При взятии производной сложной функции важно уметь отличать внешнюю функцию от внутренней. Вы можете слегка обвести внутреннюю функцию и считать ее временно за простую переменную x, чтобы не запутаться.

Совет 2 : Как научиться решать производные

Дифференцирование (нахождение производной функции) - важнейшая задача математического анализа. Нахождение производной функции помогает исследовать свойства функции, строить её график. Дифференцирование применяется при решении многих задач физики и математики. Как научиться брать производные?
Как научиться решать производные
Вам понадобится
  • Таблица производных, тетрадь, ручка
Инструкция
1
Выучите определение производной. В принципе, взять производную можно и не зная определение производной, но понимание происходящего при этом будет ничтожно малым.
2
Составьте таблицу производных, в которую запишите производные основных элементарных функций. Выучите их. На всякий случай держите таблицу производных всегда под рукой.
3
Посмотрите, можно ли упростить представленную функцию. В некоторых случаях это значительно облегчает взятие производной.
4
Производная постоянной функции (константы) равна нулю.
5
Из определения производной выводятся правила дифференцирования (правила нахождения производной). Выучите эти правила.Производная суммы функций равна сумме производных этих функций. Производная разности функций равна разности производных этих функций. Сумму и разность можно объединить под одним понятием алгебраической суммы.Постоянный множитель можно вынести за знак производной.Производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую и производной второй функции на первую.Производная частного двух функций равна: производная первой функции умножить на вторую функцию минус производная второй функции умножить на первую функцию, и всё это делить на квадрат второй функции.
6
Чтобы взять производную сложной функции, надо последовательно представить ее в виде элементарных функций и взять производную по известным правилам. Следует понимать, что одна функция может быть аргументом другой функции.
7
Рассмотрите геометрический смысл производной. Производная функции в точке х - это тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке х.
8
Практикуйтесь. Начните с нахождения производной простых функций, затем переходите к более сложным.
Полезный совет
Самостоятельно выведите правила дифференцирования из определения производной. Так вы лучше усвоите и запомните материал.

Совет 3 : Как найти производную

Нахождение производной (дифференцирование) - одна из главных задач математического анализа. Нахождение производной функции имеет множество применений в физике и математике. Рассмотри алгоритм.
Как найти производную
Инструкция
1
Упростите функцию. Представьте её в том виде, в котором удобно брать производную.
2
Возьмите производную, используя правила дифференцирования и таблицу производных. В ней находятся производные основных элементарных функций: линейных, степенных, показательных, логарифмических, тригонометрических, обратных тригонометрических. Производные элементарных функций желательно знать наизусть.
3
Производная постоянной (неизменяемой) функции равна нулю. Пример неизменяемой функции: y=5.
4
Правила дифференцирования.
Пусть с - постоянное число, u(x) и v(x) - некоторые дифференцируемые функции.
1) (cu)'=cu';

2) (u+v)'=u'+v';

3) (u-v)'=u'-v';

4) (uv)'=u'v+v'u;

5) (u/v)'=(u'v-v'u)/v^2
В случае сложной функции необходимо последовательно брать производные элементарных функций, входящих в состав сложной функции, и перемножать их. Учитывайте, что в сложной функции одна функция является аргументом другой функции.
Рассмотрим пример.
(cos(5x-2))'=cos'(5x-2)*(5x-2)'=-sin(5x-2)*5=-5sin(5x-2).
В данном примере мы последовательно берем производную функции косинуса с аргументом (5x-2) и производную линейной функции (5x-2) с аргументом x. Перемножаем производные.
5
Упростите полученное выражение.
6
Если необходимо найти производную функции в заданной точке, подставьте значение этой точки в полученное выражение для производной.
Видео по теме

Совет 4 : Как решать производные

Производная - это одно из важнейших понятий не только в математике, но и во многих других областях знаний. Она характеризует скорость изменения функции в заданный момент времени. С точки зрения геометрии, производная в некоторой точке - это тангенс угла наклона касательной к этой точке. Процесс ее нахождения называется дифференцированием, а обратный - интегрированием. Зная несколько несложных правил, можно вычислять производные любых функций, что в свою очередь существенно облегчает жизнь и химикам, и физикам, и даже микробиологам.
Как решать производные
Вам понадобится
  • учебник по алгебре за 9 класс.
Инструкция
1
Первое, что необходимо для дифференцирования функций - это знать основную таблицу производных. Ее можно найти в любом математическом справочнике.
Основная таблица производных.
2
Для того чтобы решать задачи, связанные с нахождением производных, нужно изучить основные правила. Итак, допустим, у нас есть две дифференцируемы функции u и v, и некоторая постоянна величина с.
Тогда:

Производная от константы всегда равняется нулю: (с)' = 0;

Константа всегда выносится за знак производной: (cu)' = cu';

При нахождении производной от суммы двух функций, необходимо просто их по очереди продифференцировать, а результаты сложить: (u+v)' = u'+v';

При нахождении производной от произведения двух функций, необходимо производную от первой функции умножить на вторую функцию и прибавить производную второй функции, умноженную на первую функцию: (u*v)' = u'*v+v'*u;

Для того, чтобы найти производную от частного двух функций необходимо, из произведения производной делимого, умноженной на функцию делителя, вычесть произведение производной делителя, умноженной на функцию делимого, и все это разделить на функцию делителя возведенную в квадрат. (u/v)' = (u'*v-v'*u)/v^2;

Если дана сложная функция, то необходимо перемножить производную от внутренней функции и производную от внешней. Пусть y=u(v(x)), тогда y'(x)=y'(u)*v'(x).
3
Используя полученные выше знания, можно продифференцировать практически любую функцию. Итак, рассмотрим несколько примеров:

y=x^4, y'=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y'=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2*x));
Также встречаются задачи на вычисление производной в точке. Пусть задана функция y=e^(x^2+6x+5), нужно найти значение функции в точке х=1.
1) Найдите производную функции: y'=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Вычислите значение функции в заданной точке y'(1)=8*e^0=8
Видео по теме
Полезный совет
Выучите таблицу элементарных производных. Это заметно сэкономит время.
Источники:
  • производная константы

Совет 5 : Как вычислить производную функции

Понятие производной широко используется во многих областях науки. Поэтому дифференцирование (вычисление производной) - одна из базовых задач математики. Для нахождения производной любой функции необходимо знать несложные правила дифференцирования.
Как вычислить производную функции
Инструкция
1
Для быстрого вычисления производных первым делом выучите таблицу производных основных элементарных функций. Такая таблица производных представлена на рисунке. Затем определите к какому типу относится ваша функция. Если это простая функция от одного переменного, найдите ее в таблице и вычислите. Например, (√(x))′=1/(2×√(x)).
2
Кроме этого необходимо изучить основные правила нахождения производных. Пусть f(x) и g(x) – некоторые дифференцируемые функции, с – константа. Постоянная величина всегда выносится за знак производной, то есть (с×f(x))′=c×(f(x))′. Например, (2×sin(x))′=2×(sin(x))′=2×cos(x).
3
Если вам нужно найти производную суммы или разности двух функций, то вычислите производные каждого слагаемого, а затем сложите их, то есть (f(x)±g(x))′=(f(x))′±(g(x))′. Например, (x²+x³)′=(x²)′+(x³)′=2×x+3×x². Или, например, (2^x−sin(x))′=(2^x)′−(sin(x))′=2^x×ln2−cos(x).
4
Вычисляйте производную произведения двух функций по формуле (f(x)×g(x))′=f(x)′×g(x)+f(x)×g(x)′, то есть как сумму произведений производной первой функции на вторую функцию и производной второй функции на первую функцию. Например, (√(x)×tg(x))′=(√(x))′×tg(x)+√(x)×(tg(x))′=tg(x)/(2×√(x))+√(x)/cos²(x).
5
Если ваша функция представляет собой частное двух функций, то есть имеет вид f(x)/g(x), для вычисления ее производной используйте формулу (f(x)/g(x))′=(f(x)′×g(x)−f(x)×g(x)′)/(g(x)²). Например, (sin(x)/x)′=((sin(x)′)×x−sin(x)×x²)/x²=(cos(x)×x−sin(x))/x².
6
Если вам нужно вычислить производную сложной функции, то есть функции имеющей вид f(g(x)), аргументом которой является какая-либо зависимость, используйте следующее правило: (f(g(x)))′=(f(g(x))′×(g(x))′. Сначала возьмите производную по сложному аргументу, считая его простым, затем посчитайте производную сложного аргумента и результаты перемножьте. Таким способом вы найдете производную любой степени вложенности. Например, (sin(x)³)′=3×(sin(x))²×(sin(x))′=3×(sin(x))²×cos(x).
7
Если ваша задача вычислить производную высшего порядка, то вычисляйте последовательно производные низшего порядка. Например, (x³)′′=((x³)′)′=(3×x²)′=6×x.
Обратите внимание
Знак ′ обозначает взятие производной, а знак ^ – возведение в степень.

Совет 6 : Как искать производную

Дифференцирование функций, то есть нахождение их производных — основа основ математического анализа. Именно с открытия производных, собственно, и началось развитие этой отрасли математики. В физике, а также и в других дисциплинах, имеющих дело с процессами, дифференцирование играет важнейшую роль.
Как искать производную
Инструкция
1
В самом простом определении, производной от функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения этой функции к приращению ее аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю. В определенном смысле, производная обозначает скорость изменения функции в данной точке.
Приращения в математике обозначаются буквой ∆. Приращение функции ∆y = f(x0 + ∆x) - f(x0). Тогда производная будет равна f′(x0) = lim(∆y/∆x), ∆x → 0 = ∂y/∂x. Знак ∂ обозначает бесконечно малое приращение, или дифференциал.
2
Функция g(x), для которой в любой точке x0 ее области определения g(x0) = f′(x0) называется производной функцией, или просто производной, и обозначается f′(x).
3
Чтобы вычислить производную заданной функции, можно, исходя из ее определения, сосчитать предел отношения (∆y/∆x). При этом лучше всего преобразовать это выражение так, чтобы ∆x можно было в результате просто опустить.
Например, предположим, что вам нужно найти производную от функции f(x) = x^2. ∆y = (x + ∆x)^2 - x^2 = 2x∆x + ∆x^2. Это значит, что предел отношения ∆y/∆x равен пределу выражения 2x + ∆x. Очевидно, что если ∆x стремится к нулю, то это выражение стремится к 2x. Итак, (x^2)′ = 2x.
4
Непосредственным вычислением находят базовые, т.н. табличные производные. При решении задач на нахождение производных нужно всегда стараться свести заданную производную к табличным.
5
Производная любой константы всегда равна нулю: (C)′ = 0.
6
Для любого p > 0 производная от функции x^p равна p*x^(p-1). Если p < 0, то (x^p)′ = -1/(p*x^(p+1)). Например, (x^4)′ = 4x^3, а (1/x)′ = -1/(x^2).
7
Если a > 0 и a ≠ 1, то (a^x)′ = (a^x)* ln(a). Из этого, в частности, следует, что (e^x)′ = e^x.
Производная логарифма x по основанию a равна 1/(x*ln(a)). Таким образом, (ln(x))′ = 1/x.
8
Производные тригонометрических функций связаны между собой простым соотношением:
(sin(x))′ = cos(x); (cos(x))′ = -sin(x).
9
Производная суммы функций равна сумме производных: (f(x) + g(x))′ = f′(x) + g′(x).
10
Если u(x) и v(x) — функции, у которых есть производные, то (u*v)′ = u′*v + u*v′. Например, (x*sin(x))′ = x′*sin(x) + x* (sin(x))′ = sin(x) + x*cos(x).
Производная от частного u/v равна (u′*v - u*v′)/(v^2). Например, если f(x) = sin(x)/x, то f′(x) = (sin(x) - x*cos(x))/(x^2).
Из этого, в частности, следует, что если k — константа, то (k*f(x))′ = k*f′(x).
11
Если дана функция, которую можно представить в виде f(g(x)), то f(u) называется внешней функцией, а u = g(x) — внутренней. Тогда f(g(x))′ = f′(g(x))*g′ (x).
Например, если дана функция f(x) = sin(x)^2, то f′(x) = 2*sin(x)*cos(x). Здесь квадрат — внешняя функция, а синус — внутренняя. С другой стороны, sin(x^2)′ = cos(x^2)*2x. В этом примере синус — внешняя функция, а квадрат — внутренняя.
12
Тем же путем, что и производную, можно вычислить производную от производной. Такая функция будет называться второй производной от f(x) и обозначаться f″(x). Например, (x^3)″ = (3x^2)′ = 6x.
Могут существовать и производные более высоких порядков — третья, четвертая и т.д.
Источники:
  • Справочник по математике — производная и дифференцирование

Совет 7 : Как рассчитать производную

Производная определенной функции рассчитывается методом дифференциального исчисления. Производная в данной точке показывает скорость изменения функции и равна пределу приращения функции к приращению аргумента.
Как рассчитать производную
Инструкция
1
Производная функции – центральное понятие теории дифференциального исчисления. Определение производной через отношение предела приращения функции к приращению аргумента является самым распространенным. Производные могут быть первого, второго и высших порядков. Принято обозначение производной в виде знака апострофа, например, F’(x). Вторая производная обозначается F’’(x). Производная n-го порядка – F^(n) (x), при этом n – целое число больше 0. Это метод обозначения Лагранжа.
2
Производная от функции нескольких аргументов, полученная по одному из них, называется частной производной и является одним из элементов дифференциала функции. Сумма производных одного порядка по всем аргументам исходной функции является ее полным дифференциалом этого порядка.
3
Рассмотрим расчет производной на примере дифференцирования простой функции f (x) = x^2. По определению:f’(x) = lim ((f(x) – f(x_0))/(x – x_0)) = lim ((x^2 – x_0^2)/(x – x_0)) = lim ((x – x_0)*(x + x_0)/(x – x_0)) = lim (x + x_0).При том, что x -> x_0 имеем: f’(x) = 2*x_0.
4
Для облегчения нахождения производной существуют правила дифференцирования, позволяющие ускорить время расчета. Основные правила такие:• C’ = 0, где C – константа;• x’ = 1;• (f + g)’ – f’ + g’;• (f*g)’ = f’*g + f*g’;• (C*f)’ = C*f’;• (f/g)’ = (f’*g – f*g’)/g^2.
5
Для нахождения производной n-го порядка используется формула Лейбница:(f*g)^(n) = ? C(n)^k*f^(n-k)*g^k, где C(n)^k – биномиальные коэффициенты.
6
Производные некоторых простейших и тригонометрических функций:• (x^a)’ = a*x^(a-1);• (a^x)’ = a^x*ln(a);• (sin x)’ = cos x;• (cos x)’ = - sin x;• (tg x)’ = 1/cos^2 x;• (ctg x)’ = - 1/sin^2 x.
7
Расчет производной сложной функции (композиции двух или более функций):f’(g(x)) = f’_g*g’_x.Эта формула действительна только в случае, если функция g дифференцируема в точке x_0, а функция f имеет производную в точке g(x_0).

Совет 8 : Как найти угловой коэффициент касательной

Прямая y=f(x) будет касательной к изображенному на рисунке графику в точке х0 в том случае, если она проходит через точку с координатами (х0; f(x0)) и обладает угловым коэффициентом f'(x0). Найти такой коэффициент, зная особенности касательной, несложно.
Как найти угловой коэффициент касательной
Вам понадобится
  • - математический справочник;
  • - простой карандаш;
  • - тетрадь;
  • - транспортир;
  • - циркуль;
  • - ручка.
Инструкция
1
Обратите внимание на то, что график дифференцируемой в точке х0 функции f(x) ничем не отличается от отрезка касательной. Ввиду этого, он достаточно близок к отрезку l, который проходит через точки (х0; f(х0)) и (х0+Δx; f(x0 + Δx)). Для того чтобы задать прямую, которая проходит через некую точку А с коэффициентами (х0; f(х0)), следует указать ее угловой коэффициент. При этом угловой коэффициент равен Δy/Δx секущей касательной (Δх→0) и стремится к числу f‘(x0).
2
Если значения f‘(x0) не существует, то либо касательной нет, либо она проходит вертикально. Ввиду этого, наличие производной функции в точке х0 обусловлено существованием невертикальной касательной, соприкасающейся с графиком функции в точке (х0, f(х0)). В этом случае угловой коэффициент касательной равен будет f'(х0). Таким образом, становится ясен геометрический смысл производной – расчет углового коэффициента касательной.
3
Изобразите на рисунке дополнительные касательные, которые бы соприкасались с графиком функции в точках x1, х2 и х3, а также отметьте углы, образуемые этими касательными с осью абсцисс (такой угол отсчитывают в положительном направлении от оси до касательной прямой). К примеру, первый угол, то есть, α1, будет острым, второй (α2) – тупой, а третий (α3) равен нулю, поскольку проведенная касательная прямая параллельна оси ОХ. В таком случае тангенс тупого угла – отрицательное значение, тангенс острого угла – положительное, а при tg0 результат равен нулю.
Обратите внимание
Правильно определите угол, образуемый касательной. Для этого используйте транспортир.
Полезный совет
Две наклонные прямые будут параллельными в том случае, если их угловые коэффициенты равны между собой; перпендикулярными, если произведение угловых коэффициентов этих касательных равно -1.
Источники:
  • Касательная к графику функции

Совет 9 : Как вычислить вторую производную

Математические методы применяются во многих областях науки. Это утверждение касается, в частности, дифференциального исчисления. Например, если вычислить вторую производную функции расстояния от переменной времени, то можно найти ускорение материальной точки.
Как вычислить вторую производную
Инструкция
1
Дифференцирование функции при каждом значении области ее определения приводит к появлению новой функции. Таким образом, она тоже может быть продифференцирована. Результатом этой вторичной операции будет вторая производная исходной функции.
2
Правила и методы дифференцирования сохраняются для производных высших порядков. Это касается некоторых элементарных функций, операций сложения, произведения и деления, а также сложных функций вида u(g(х)):• u’ = С’ = 0 – производная константы;• u’ = х’ = 1 – простейшая функция одного аргумента;• u’ = (х^а)’ = а•х^(а-1);• u’ = (а^х)’ = а^х•ln а – показательная функция;
3
Основные тригонометрические функции также являются табличными:• u’ = (sin х)’ - соs х;• u’ = (соs х)’ = -sin х;• u’ = (tg х)’ = 1/соs² х;• u’ = (ctg х)’ = - 1/sin² х.
4
Арифметические операции пары функций u(х) и g(х):• (u + g)’ = u’ + g’;• (u•g)’ = u’•g + g’•u;• (u/g)’ = (u’•g – g’•u)/g².
5
Довольно трудно вычислить вторую производную сложной функции. Для этого применяют методы численного дифференцирования, хотя результат получается приближенным, присутствует так называемая погрешность аппроксимации α:u’’(х) = (u(х + h) – 2•u(х) + u(х - h))/h² + α(h²) – интерполяционный многочлен Ньютона;u’’(х) = (-u(х + 2•h) + 16•u(х + h) – 30•u(х) + 16•u(х - h) – u(х – 2•h))/(12•h²) + α(h²) – формула Стрилинга.
6
В этих формулах присутствует некая величин h. Она называется шагом аппроксимации, выбор которого должен быть оптимальным, чтобы минимизировать погрешность вычисления. Подбор правильного значения h называется регуляцией по шагу:|u(х + h) – u(х)| > ε, где ε бесконечно мало.
7
Метод вычисления второй производной применяется при нахождения полного дифференциала второго порядка. При этом она частным образом рассчитывается для каждого аргумента и участвует в конечном выражении в виде множителя соответствующего дифференциала dх, dy и т.д.:d² u = ∂u’/∂х •d²х + ∂u’/∂y •d²у + ∂u’/∂z •d²z.
8
Пример: найдите вторую производную функции u = 2•х•sin х – 7•х³ + х^5/tg х.
9
Решениеu’ = 2•sin x + 2•х•соs х – 21•х² + 5•х^4/tg х – х²/sin² х;u’’ = 4•соs х – 2•х•sin х – 42•х + 20•х³/tg х – 5•х^4/sin² х – 2•х/sin² х + 2•х²•соs х/sin³ х.

Совет 10 : Как найти производную функции

Методы дифференциального исчисления используются при исследовании характера поведения функции в математическом анализе. Однако это не единственная сфера их применения, часто требуется найти производную, чтобы рассчитать предельные величины в экономике, вычислить скорость или ускорение в физике.
Как найти производную функции
Инструкция
1
Производная функции в точке показывает быстроту ее изменения и вычисляется через теорию пределов. Поэтому она может иметь как конечное, так и бесконечное значение. Во втором случае говорят, что исходная функция не дифференцируема в этой точке. Существуют правила, по которым можно найти производную простейшей, элементарной и сложной функции.
2
Запомните таблицу вычисления производных простейших и некоторых элементарных функций:- С’ = 0;- х’ = 1;- (С•х)’ = С•х’ = С;- (sin х)’ = соs х; (соs х)’ = - sin х;- (tv х)’ = 1/соs² х; (сtv х)’ = -1/sin² х;- b^х = b^х•ln b;- lоv_b х = 1/(х•ln b).
3
Применяйте общие правила дифференцирования.Производная степенной функции вида х^n, где n>1, равна n•х^(n-1). Примеры: (х^4)’ = 4•х³; (5•х³)’ = 5•3•х² = 15•х².
4
Производная суммы функций находится путем сложения их отдельных производных: (Σfi(х))’ = Σfi’(х). Примеры: (sin х + соs х)’ = соs х – sin х; (х^5 + 6•х^4 – 2•х² + 14•х)’ = 5•х^4 + 24•х³ – 4•х + 14. При дифференцировании многочлена его степень уменьшается на 1.
5
Производная произведения, где оба множителя являются функциями, равна сумме двух элементов. В первом случае это производная первой функции и исходное выражение второй, во втором случае – наоборот: (f•v)’ = f’•v + f•v’.Пример: (5^х•lоv_5 х)’ = (5^х)’•lоv_5 х + 5^х•(lоv_5 х)’ = 5•х•ln 5•lоv_5 х + 5^х/(х•ln 5).
6
Дробь, где числитель и знаменатель – функции, дифференцируется по более сложной формуле: (f/v)’ = (f’•v – f•v’)/v². Пример: ((х•sin х)/(5•х² + 3))’.Решение.К этому выражению применимы сразу два правила дифференцирования: суммы и произведения функций одного и того же аргумента:((х•sin х)/(5•х² + 3))’ = ((х•sin х)’•(5•х² + 3) – х•sin х•(5•х² + 3)’)/(5•х² + 3)² =((sin х + х•соs х)•(5•х² + 3) – х•sin х•10•х)/(5•х² + 3)².
7
Раскройте скобки и приведите подобные:х•соs х – х•sin х•(5•х - 3)/(5•х² + 3)².
8
Чтобы найти производную сложной функции вида f(v(х)), продифференцируйте старшую функцию f, приняв v за простой аргумент. Затем умножьте результат на производную v’(х). Например: (tv (2•х² + 3))’ = (tv х)’•(2•х² + 3)’ = 1/соs² (2•х² + 3)•4•х = 4•х/соs² (2•х² + 3).

Совет 11 : Как найти тангенс угла наклона касательной

Геометрический смысл производной первого порядка функции F(х) представляет собой касательную прямую к ее графику, проходящую через заданную точку кривой и совпадающую с ней в этой точке. Причем значение производной в данной точке х0 является угловым коэффициентом или иначе – тангенсом угла наклона касательной прямой k = tg a = F`(х0). Вычисление данного коэффициента – одна из наиболее распространенных задач теории функций.
Как найти тангенс угла наклона касательной
Инструкция
1
Запишите заданную функцию F(x), например F(x) = (x³ + 15х +26). Если в задаче явно указана точка, через которую проводится касательная, например, ее координата х0 = -2, можно обойтись без построения графика функции и дополнительных прямых на декартовой системе ОХY. Найдите производную первого порядка от заданной функции F`(x). В рассматриваемом примере F`(x) = (3x² + 15). Подставьте заданное значение аргумента х0 в производную функции и вычислите ее значение: F`(-2) = (3(-2)² + 15) = 27. Таким образом, вы нашли tg a = 27.
2
При рассмотрении задачи, где требуется определить тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке пересечения этого графика с осью абсцисс, вам понадобится сначала найти числовое значение координат точки пересечения функции с ОХ. Для наглядности лучше всего выполнить построение графика функции на двухмерной плоскости ОХY.
3
Задайте координатный ряд для абсцисс, например, от -5 до 5 с шагом 1. Подставляя в функцию значения х, вычислите соответствующие им ординаты у и отложите на координатной плоскости полученные точки (х, у). Соедините точки плавной линией. Вы увидите на выполненном графике место пересечения функцией оси абсцисс. Ордината функции в данной точке равна нулю. Найдите численное значение соответствующего ей аргумента. Для этого заданную функцию, например F(x) = (4x² - 16), приравняйте к нулю. Решите полученное уравнение с одной переменной и вычислите х: 4x² - 16 = 0, x² = 4, х = 2. Таким образом, согласно условию задачи, тангенс угла наклона касательной к графику функции необходимо найти в точке с координатой х0 = 2.
4
Аналогично описанному ранее способу определите производную функции: F`(x) = 8*x. Затем вычислите ее значение в точке с х0 = 2, что соответствует точке пересечения исходной функции с ОХ. Подставьте полученное значение в производную функции и вычислите тангенс угла наклона касательной: tg a = F`(2) = 16.
5
При нахождении углового коэффициента в точке пересечения графика функции с осью ординат (ОY) выполните аналогичные действия. Только координату искомой точки х0 сразу следует принять равной нулю.

Совет 12 : Как находить значение производной функции

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Одна и та же функция может при одних значениях аргумента иметь производную, а при других — не иметь.
Как находить значение производной функции
Инструкция
1
Прежде чем искать производную функции необходимо исследовать область значений аргумента и исключить те промежутки, при которых существование функции невозможно. Например, для функции f=1/x недопустимо значение аргумента х=0, а для функции z=logа x допустимы только положительные значения аргумента.
2
Производные простых функций одного аргумента находятся по формулам дифференцирования, которые можно запомнить или при необходимости найти в таблицах производных элементарных функций. Например, производная постоянной всегда равна нулю, производная линейной функции f(x)=kx равна коэффициенту k: f'(x)=k, функция f(x)= x² имеет производную f'(x)=2x.
3
При дифференцировании действуют правила, общие для любой функции:
- постоянный множитель можно выносить за знак производной: (k*f(x))'=k*(f(x))';
- производная суммы нескольких функций одного и того же аргумента равна сумме производных этих функций: (z(x) + f(x))'=z'(x)+f'(x);
- производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую функцию и первой функции на производную второй функции: (z(x)*f(x))'=z'(x)*f(x) + z(x)*f'(x);
- производная частного двух функций выглядит так: (z/f)'= (z'*f- z*f')/f².
4
Прежде чем применять эти правила при дифференцировании сложной функции, имеет смысл попытаться упростить исходное выражение. Например, если нужно найти производную дроби с многочленом в числителе, можно почленно разделить числитель на знаменатель. Тогда нахождение производной частного функций заменяется на вычисление производной алгебраической суммы функций. Конечно, каждое слагаемое в полученном выражении останется дробью, и находить производную частного придется, но выражения будут менее громоздкими, и процесс дифференцирования существенно упростится. Для вычисления значения производной от функции в конкретной точке, в полученном ответе вместо аргумента x подставьте его численное значение и рассчитайте выражение.
Совет полезен?
Поиск
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500