Совет 1: Как выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена

Метод выделения полного квадрата двучлена из квадратного трехчлена является основой алгоритма решения уравнений второй степени, а также применяется при упрощении громоздких алгебраических выражений.
Инструкция
1
Метод выделения полного квадрата применяется как для упрощения выражений, так и при решении квадратного уравнения, которое, по сути, является трехчленом второй степени от одной переменной. В основе метода лежат некоторые формулы сокращенного умножения многочленов, а именно частные случаи Бинома Ньютона – квадрат суммы и квадрат разности:(а ∓ b)² = а² ∓ 2•а•b + b².
2
Рассмотрим применение метода для решения квадратного уравнения вида а•х² + b•х + с = 0. Чтобы выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена, разделите обе части уравнения на коэффициент при наибольшей степени, т.е. при х²:а•х² + b•х + с = 0 /а → х² + (b/а)•х + с/а = 0.
3
Представьте полученное выражение в виде:(х² + 2•(b/2а)•х + (b/2а)²) – (b/2а)² + с/а = 0, где одночлен (b/а)•х преобразован в удвоенное произведение элементов b/2а и х.
4
Сверните первую скобку в квадрат суммы:(х + b/2а)² – ((b/2а)² – с/а) = 0.
5
Теперь возможны две ситуации нахождения решения: если (b/2а)² = с/а, то уравнение имеет единственный корень, а именно х = -b/2а. Во втором случае, когда (b/2а)² = с/а, решений будет следующим:(х + b/2а)² = ((b/2а)² – с/а) → х = -b/2а + √((b/2а)² – с/а) = (-b + √(b² – 4•а•с))/(2•а).
6
Двойственность решения вытекает из свойства квадратного корня, результат вычисления которого может быть как положительным, так и отрицательным, в то время как модуль остается неизменным. Таким образом, получается два значения переменной:х1,2 = (-b ± √(b² – 4•а•с))/(2•а).
7
Так, используя метод выделения полного квадрата, мы пришли к понятию дискриминанта. Очевидно, что он может быть либо нулем, либо положительным числом. При отрицательном дискриминанте уравнение не имеет решений.
8
Пример: выделить квадрат двучлена в выражении х² – 16•х + 72.
9
РешениеПерепишите трехчлен в виде х² – 2•8•х + 72, откуда следует, что составляющими полного квадрата двучлена являются 8 и х. Следовательно, для его завершения нужно еще число 8² = 64, которое можно вычесть из третьего члена 72: 72 – 64 = 8. Тогда исходное выражение преобразуется в:х² – 16•х + 72 → (х - 8)² + 8.
10
Попробуйте решить это уравнение:(х-8)² = -8 < 0 → действительных корней нет.

Совет 2: Как разделить квадрат на 6 частей

Квадрат – это геометрическая фигура, у которой все четыре стороны равны и все углы прямые. Можно без проблем сразу разделить квадрат на 4 равных квадрата или на 4 одинаковых треугольника. Но как разделить квадрат на шесть равных частей? Это можно сделать как с линейкой, так и без нее.
Вам понадобится
  • - линейка;
  • - карандаш;
  • - бумага.
Инструкция
1
Разделить квадрат на шесть частей – это значит получить в результате шесть геометрических фигур, а именно прямоугольников. Чтобы части получились одинаковыми, сначала сделайте разметку. Например, квадрат имеет сторону длиной 24 см. Линейкой отмерьте 12 см с одной стороны и 12 см с противоположной (параллельной). Соедините полученные точки линией, которая и разделит квадрат пополам на два прямоугольника размером 24х12 см.
2
Теперь продолжайте разметку, только уже на двух других сторонах (перпендикулярных уже размеченных). Обе стороны (относительно друг друга они параллельны) разделите на 3 части, при этом каждая из них получится по 8 см, соедините полученные точки линиями. Таким образом, получится 6 одинаковых прямоугольников размером 12х8 см.
3
Если нет под рукой линейки и карандаша, а квадрат необходимо разделить, то можно обойтись и без них. Для этого согните фигуру ровно посередине. Затем, не разгибая, сложите втрое полученный длинный прямоугольник, аккуратно подгоняя образующиеся стороны. В результате в сложенном виде прямоугольник, составляющий 1/6 часть квадрата, будет иметь размер 12х8 см. Разверните квадрат и по сгибам сделайте разметку ручкой.
4
Можно сделать разметку по-другому и получить также 6 одинаковых частей, только в этом случае они уже будут напоминать длинные узкие полоски. Сделайте на квадрате разметку. Длина стороны составляет 24 см, а всего нужно получить 6 частей, следовательно каждый фрагмент будет иметь ширину 4 см. Для этого отметьте с помощью линейки и карандаша точки через каждый 4 см с одной стороны квадрата. То же самое сделайте и с другой – противоположной (параллельной) стороны. Соедините полученные точки. Получилось 6 одинаковых, сильно вытянутых прямоугольников, которые имеют вид полосок размером 24х4 см.
Видео по теме
Полезный совет
Для разметки возьмите острый простой карандаш - тогда геометрические фигуры получатся абсолютно одинаковыми по размеру.

Совет 3: Как найти квадрат уравнения

«Уравнением» в математике называется запись, содержащую некоторые математические или алгебраические действия и обязательно включающую в себя знак равенства. Однако чаще этим понятием обозначают не тождество в целом, а только его левую часть. Поэтому задача возведения уравнения в квадрат скорее всего предполагает применение этой операции только к одночлену или многочлену в левой части равенства.
Инструкция
1
Умножьте уравнение на само себя - это и есть операция возведения во вторую степень, то есть в квадрат. Если исходное выражение содержит переменные в какой-либо степени, то показатель степени следует увеличить в два раза. Например, (4*x³)² = (4*x³)*(4*x³) = 16*x⁶. Если присутствующие в уравнении численные коэффициенты умножить в уме не представляется возможным, то используйте калькулятор, онлайн-вычислитель или сделайте это на бумаге, «в столбик».
2
Если исходное выражение содержит несколько складываемых или вычитаемых переменных с численными коэффициентами (то есть является многочленом), то придется осуществлять операцию умножения по соответствующим правилам. Это означает, что следует перемножить каждый член уравнения-множимого на каждый член уравнения-множителя, а затем упростить полученное выражение. Тот факт, что в вашем случае оба уравнения одинаковы, ничего не меняет в этом правиле. Например, если возвести в квадрат требуется уравнение x²+4-3*x, то всю операцию можно записать в таком виде: (x²+4-3*x)² = (x²+4-3*x)*(x²+4-3*x) = x⁴+4*x²-3*x³ + 4*x²+16-12*x - 3*x³-12*x+9*x². Полученное выражение следует упростить и, если это возможно, расположить степенные члены в порядке убывания показателя степени: x⁴+4*x²-3*x³ + 4*x²+16-12*x - 3*x³-12*x+9*x² = x⁴ - 6*x³ + 25*x² - 24*x + 16.
3
Формулы возведения в квадрат некоторых наиболее часто встречающихся выражений лучше запомнить наизусть. В школе их обычно включают в список, называемый «формулами сокращенного умножения». В него относят, в частности, формулы возведения во вторую степень суммы двух переменных (x+y)² = x²+2*x*y+y², их разности (x-y)² = x²-2*x*y+y², суммы трех слагаемых (x+y+z)² = x²+y²+z²+2*x*y+2*y*z+2*x*z и разности трех слагаемых (x-y-z)² = x²+y²+z²-2*x*y+2*x*y-2*z.
Видео по теме

Совет 4: Как выделить квадрат двучлена

Метод выделения квадрата двучлена применяется при упрощении громоздких выражений, а также для решения квадратных уравнений. На практике его обычно комбинируют с другими приемами, включая разложение на множители, группировку и пр.
Инструкция
1
Метод выделения полного квадрата двучлена основан на использовании двух формул сокращенного умножения многочленов. Эти формулы являются частными случаями Бинома Ньютона для второй степени и позволяют упростить искомое выражение так, чтобы можно было провести последующее сокращение или разложение на множители:
(m + n)² = m² + 2·m·n + n²;
(m - n)² = m² - 2·m·n + n².
2
Согласно этому методу из исходного многочлена требуется выделить квадраты двух одночленов и сумму/разность их двойного произведения. Применение этого метода имеет смысл, если старшая степень слагаемых не меньше 2. Предположим, дано задание разложить на множители с понижением степени следующее выражение:
4·y^4 + z^4
3
Для решения задачи нужно воспользоваться методом выделения полного квадрата. Итак, выражение состоит из двух одночленов с переменными четной степени. Следовательно, можно обозначить каждый из них через m и n:
m = 2·y²; n = z².
4
Теперь нужно привести исходное выражение к виду (m + n)². В нем уже присутствуют квадраты этих слагаемых, но не хватает двойного произведения. Нужно добавить его искусственно, а потом вычесть:
(2·y²)² + 2·2·y²·z² + (z²)² - 2·2·y² ·z² = (2·y² + z²)² – 4·y²·z².
5
В получившемся выражении можно увидеть формулу разности квадратов:
(2·y² + z²)² – (2·y·z)² = (2·y² + z² – 2·y·z)· (2·y² + z² + 2·y·z).
6
Итак, метод состоит из двух этапов: выделение одночленов полного квадрата m и n, прибавление и вычитание их двойного произведения. Метод выделения полного квадрата двучлена может применяться не только самостоятельно, но и в комбинации с другими методами: вынесения за скобки общего множителя, замена переменной, группировки слагаемых и пр.
7
Пример 2.
Выделите полный квадрат в выражении:
4·y² + 2·y·z + z².
Решение.
4·y² + 2·y·z + z² =[m = 2·y, n = z] = (2·y)² + 2·2·y·z + (z) ² – 2·y·z = (2·y + z)² – 2·y·z.
8
Метод применяется при нахождении корней квадратного уравнения. Левая часть уравнения представляет собой трехчлен вида a·y² + b·y + c, где a, b и c – какие-то числа, причем a ≠ 0.
a·y² + b·y + c = a·(y² + (b/a)·y) + c = a·(y² + 2·(b/(2·a))·y) + c = a·(y² + 2·(b/(2·a))·y + b²/(4·a²)) + c – b²/(4·a) = a·(y + b/(2·a)) ² – (b² – 4·a·c)/(4·a).
9
Эти расчеты приводят к понятию дискриминанта, который равен (b² – 4·a·c)/(4·a), а корни уравнения равны:
y_1,2 = ±(b/(2•a)) ± √ ((b² – 4·a·c)/(4·a)).
Источники:
  • метод выделения полного квадрата

Совет 5: Как выделить из трехчлена квадрат двучлена

Есть несколько методов решения квадратного уравнения, наиболее распространенный – выделить из трехчлена квадрат двучлена. Этот способ приводит к вычислению дискриминанта и обеспечивает одновременный поиск обоих корней.
Инструкция
1
Алгебраическое уравнение второй степени называется квадратным. Классическая форма левой стороны этого уравнения представляет собой многочлен a•x² + b•x + c. Чтобы вывести формулу для решения, необходимо выделить из трехчлена квадрат двучлена. Это можно осуществить двумя способами. Перенесите свободный член с в правую сторону со знаком минус:a•x² + b•x = -c.
2
Умножьте обе стороны уравнения на 4•а:4•a²•x² + 4•a•b•x = -4•a•c.
3
Прибавьте выражение b²:4•a²•x² + 4•a•b•x + b² = -4•a•c + b².
4
Очевидно, что слева получилась развернутая форма квадрата двучлена, состоящего из слагаемых 2•a•x и b. Сверните этот трехчлен в полный квадрат:(2•a•x + b)² = b² – 4•a•c → 2•a•x + b = ±√(b² – 4•a•c)
5
Откуда:x1,2 = (-b ± √(b² – 4•a•c))/2•a.Разность, стоящая под знаком корня, называется дискриминантом, а формула является общеизвестной для решения подобных уравнений.
6
Второй способ подразумевает выделение из одночлена первой степени удвоенного произведения элементов. Т.е. необходимо определить из слагаемого вида b•x, какие множители могут быть использованы для полного квадрата. Этот метод лучше рассмотреть на примере:x² + 4•x + 13 = 0
7
Посмотрите на одночлен 4•x. Очевидно, что его можно представить в виде 2•(2•x), т.е. удвоенного произведения х и 2. Следовательно, выделять нужно квадрат суммы (х + 2). Для полноты картины не хватает слагаемого 4, которое можно взять из свободного члена:x² + 4•x + 4 - 9 → (x + 2)² = 9
8
Извлеките квадратный корень:x + 2 = ±3 → x1 = 1; x2 = -5.
9
Метод выделения квадрата двучлена широко применяется для упрощения громоздких алгебраических выражений наряду с другими способами: группировка, замена переменной, вынесение общего множителя за скобку и т.д. Полный квадрат является одной из формул сокращенного умножения и частным случаем Бинома Ньютона.

Совет 6: Как найти корень квадратного трехчлена

Найти корень квадратного трехчлена можно через дискриминант. Кроме того, для приведенного многочлена второй степени действует теорема Виета, основанная на соотношении коэффициентов.
Инструкция
1
Квадратные уравнения – довольно обширная тема в школьной алгебре. Левая часть такого уравнения представляет собой многочлен второй степени вида А•х² + B•х + C, т.е. выражение из трех одночленов разной степени неизвестной х. Чтобы найти корень квадратного трехчлена, нужно вычислить такое значение х, при котором выполняется равенство этого выражения нулю.
2
Для решения квадратного уравнения нужно найти дискриминант. Его формула является следствием выделения полного квадрата многочлена и представляет собой определенное соотношение его коэффициентов:

D = B² – 4•А•C.
3
Дискриминант может принимать различные значения, в том числе быть отрицательным. И если младшие школьники могут с облегчением сказать, что корней у такого уравнения нет, то старшеклассники уже способны их определить, исходя из теории комплексных чисел. Итак, вариантов может быть три:

• Дискриминант – положительное число. Тогда корни уравнения равны: х1 = (-B + √D)/2•А; х2 = (-B - √D)/2•А;
• Дискриминант обратился в ноль. Теоретически в этом случае уравнение также имеет два корня, но практически они одинаковы: х1 = х2 = -B/2•А;
• Дискриминант меньше нуля. В расчет вводится некая величина i² = -1, которая позволяет записать комплексное решение: х1 = (-B + i•√|D|)/2•А; х2 = (-B - i•√|D|)/2•А.
4
Метод дискриминанта справедлив для любого квадратного уравнения, однако есть ситуации, когда целесообразно применить более быстрый способ, особенно при небольших целочисленных коэффициентах. Этот способ называется теоремой Виета и заключается в паре соотношений между коэффициентами в приведенном трехчлене:

х² + P•х + Q
х1 + х2 = -P;
х1•х2 = Q.

Остается только подобрать корни.
5
Следует отметить, что уравнение может быть приведено к подобному виду. Для этого нужно разделить все слагаемые трехчлена на коэффициент при старшей степени А:

А•х² + B•х + C |А
х² + B/А•х + C/А
х1 + х2 = -B/А;
х1•х2 = C/А.
Видео по теме
Источники:
  • как находить корень уравнения с квадратом
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500