Что такое ряд Тейлора

Когда мы возводим число в дробные степени, берем логарифм, решаем неберущийся интеграл, определяем арксинус и синус, а также другие тригонометрические функции, мы пользуемся калькулятором, что очень удобно. Однако мы знаем, что калькуляторы могут осуществлять только простейшие арифметические действия, в то время как для взятия логарифма необходимо знать основы математического анализа. Как же калькулятор справляется со своей задачей? Для этого математики вложили в него умение раскладывать функцию в ряд Тейлора и Маклорена.

Инструкция

1. Ряд Тейлора был выведен ученым Тейлором в 1715 году для аппроксимаций сложных математических функций, таких, например, как арктангенс. Разложение в этот ряд позволяет найти значение абсолютно любой функции, выражая последнюю через более простые степенные выражения. Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена. В последнем случае x0 = 0.
   
2. Существуют так называемые формулы разложения в ряд Маклорена для тригонометрических, логарифмических и других функций. Используя их, можно найти значения ln3, sin35 и другие, только умножая, вычитая, суммируя и деля, т. е. производя лишь простейшие арифметические действия. Данный факт используется в современных ЭВМ: благодаря формулам разложения можно значительно сократить программное обеспечение и, следовательно, уменьшить загрузку оперативной памяти.
3. Ряд Тейлора - ряд сходящийся, т. е. каждый последующий член ряда меньше предыдущего, как в бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Таким образом можно выполнять эквивалентные вычисления с любой степенью точности. Погрешность вычислений определяется по формуле, записанной на рисунке выше.
   
4. Особое значение метод разложения в ряд приобрел, когда ученые поняли, что не от всякой аналитической функции можно аналитически взять интеграл, а потому разрабатывались методы приближенного решения таких задач. Метод разложения в ряд оказался самым точным из них. Но если метод подходит для взятия интегралов, им можно решать и так называемые нерешаемые диффуры, что позволило вывести новые аналитические законы в теоретической механике и ее приложениях.