Совет 1: Что такое метод Джордана Гаусса

Метод Джордана-Гаусса является одним из способов решения систем линейных уравнений. Он обычно используется, для нахождения переменных, когда другие способы оказываются бессильными. Его суть состоит в использовании треугольной матрицы или блок-схемы для выполнения поставленной задачи.

Метод Гаусса



Допустим, что необходимо решить систему линейных уравнений следующего вида:

1) Х1+Х2+Х4=0;
2) –Х2-Х3-5Х4=0;
3) -4Х2-Х3-7Х4=0;
4) 3Х2-3Х3-2Х4=0;

Как видно, всего имеется четыре переменных, которые надо найти. Есть несколько способов сделать это.

Для начала, необходимо записать уравнения системы в виде матрицы. В данном случае она будет иметь три колонки и четыре строки:

Х1 Х2 Х4
-Х2 Х3 5Х4
-4Х2 Х3 -7Х4
3Х2 -3Х3 -2Х4

Первым и наиболее простым способом решения является подстановка переменной из одного уравнения системы в другое. Таким образом, можно добиться того, что все переменные, кроме одной будут исключены и останется только одно уравнение.

Например, можно вывести и подставить переменную Х2 из второй строки в первую. Эта процедура может быть выполнена и для других строк. В результате из первого столбца будут исключены все переменные, кроме одной.
Затем исключение Гаусса необходимо аналогично применить и ко второй колонке. Далее таким же методом можно поступить и с остальными строками матрицы.


Таким образом, все строки матрицы приобретают треугольный вид в результате этих действий:

0 Х1 0
0 Х2 0
0 0 0
Х3 0 Х4


Метод Джордана-Гаусса



Исключение Джордана-Гаусса включает дополнительный шаг. С помощью него устраняются все переменные, кроме четырех, и матрица приобретает практически идеальный диагональный вид:





Х1 0 0
0 Х2 0
0 Х3 0
0 0 Х4

Далее можно искать значения этих переменных. В данном случае, x1=-1, x2=2 и так далее.
Необходимость резервного замещения решается для каждой переменной в отдельности, как в гауссовом замещении, поэтому все ненужные элементы будут устранены.


Дополнительные операции в исключении Джордана-Гаусса играют роль подстановки переменных в матрице диагональной формы. Это утраивает количество вычислений, необходимых, даже в сравнении с операциями резервного замещения Гаусса. Однако это помогает найти значения неизвестный с большей точностью и помогает лучше просчитывать отклонения.

Недостатки



Дополнительные операции метода Джордана-Гаусса повышают вероятность возникновения ошибки и увеличивают время, необходимое на вычисление. Недостатком обоих является то, что они требуют правильного алгоритма. Если последовательность действий сбивается, то результат тоже может оказаться неправильным.

Именно поэтому такие методы чаще всего используются не для вычислений на бумаге, а для компьютерных программ. Реализовать их можно практически любым способом и на всех языках программирования: от Basic до С.

Совет 2: Как решать симплексным методом

Если в задаче имеется N неизвестных, то область допустимых решений в системе ограничивающих условий будет являться выпуклым многогранником в N-мерном пространстве. Графическое решение такой задачи невозможно, и в этом случае применяется симплексный метод линейного программирования.
Инструкция
1
Запишите систему ограничений как систему линейных уравнений, число неизвестных в которой будет больше количества уравнений. Выберите R неизвестных при ранге системы R. Используя метод Гаусса, приведите систему к такому виду:

x1= b1+a1r+1x r+1+…+ a1nx n;
x2= b2+a2r+1x r+1+…+ a2nx n;

xr= br+ar,r+1x r+1+…+ amx n.
2
Придайте свободным переменным конкретные значения и после этого рассчитайте базисные величины. Их значения должны быть неотрицательными. Так, если за базисные величины приняты значения от X1 до Xr, то решение данной системы от b1 до 0 будет являться опорным, при условии, что значения от b1 до br ≥ 0.
3
При предельной допустимости базисного решения системы проверьте его на оптимальность. Если оно не будет соответствовать оптимуму, перейдите к следующему. Таким образом, от решения к решению заданная линейная система будет приближаться к оптимуму.
4
Сформируйте симплекс-таблицу. Перенесите в ее левую часть члены с переменными во всех равенствах, а свободные от переменных – в правую. Таким образом, в столбцах будут указаны базовые переменные, свободные члены, Х1…Xr, Xr+1…Xn, в строках отобразятся Х1…Xr, Z.
5
Просмотрите последнюю строку и выберите среди приведенных коэффициентов или максимальное положительное при поиске на min, или минимальное отрицательное число при поиске на max. Если таких значений нет, базисное решение считается оптимальным. Просмотрите столбец таблицы, тождественный выбранному отрицательному или положительному значению в последней строке. Найдите в нем положительные величины. Если их нет, то такая задача не имеет решения.
6
Выберите из оставшихся коэффициентов столбца таблицы именно тот, для которого разница в отношении к свободному члену минимальна. Это значение будет являться разрешающим коэффициентом, а строка, в которой он записан - ключевой. Переведите свободную переменную из строки, где находится разрешающий элемент, в разряд базисных, а базисную, указанную в столбце – в свободную. Составьте еще одну таблицу с измененными наименованиями и значениями переменных.
7
Распределите все элементы ключевой строки, кроме столбца, где находятся свободные члены, на разрешающие элементы и новые полученные значения. Впишите их в строку со скорректированной базисной переменной во второй таблице. Те элементы ключевого столбца, которые равны нулю, всегда тождественны единице. В новой таблице также будут сохранены и столбец с нулем в ключевой строке и строка с нулем в ключевом столбце. Запишите результаты преобразования переменных из первой таблицы.
Видео по теме

Совет 3: Как решать методом Крамера

Курс линейной алгебры и аналитической геометрии - базис высшего технического образования. Многим студентам "линейка" дается довольно легко. Действительно, главное в линейной алгебре - уметь решать системы линейных уравнений. Наиболее простой способ вычисления - метод Крамера.
Инструкция
1
Для решения системы уравнений по методу Крамера сперва необходимо составить расширенную матрицу. В ней квадратная матрица должна состоять из коэффициентов при переменных, а столбец свободных членов (расширение матрицы) - это свободные члены из правой части уравнений.
2
Дальше находим определитель главной матрицы. Самый удобный способ нахождения определителя - метод Гаусса. Используя элементарные преобразования, добиваемся под главной диагональю нулей. Тогда определитель находится как произведение элементов главной диагонали. Этот определитель можно обозначить как D.
3
Далее выполняем следующую подстановку - меняем столбец квадратной матрицы на столбец свободных членов. Теперь находим определитель данной матрицы. Его обозначаем как DN, где N - номер столбца, на место которого совершалась подстановка.
4
Теперь находим решение системы линейных уравнений - находим корни уравнения. Xn = DN/D.
Видео по теме
Источники:
  • Главный математический портал России
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500