Совет 1: Как составить каноническое уравнение прямой

Прямая - одно из исходных понятий геометрии. Аналитически прямая представляется уравнениями, или системой уравнений, на плоскости и в пространстве. Каноническое уравнение задается через координаты произвольного направляющего вектора и двух точек.
Инструкция
1
Основа любых построений в геометрии – понятие расстояния между двумя точками в пространстве. Прямая – это линия, параллельная этому расстоянию, и эта линия бесконечна. Через две точки можно провести только одну прямую.
2
Графически прямая изображается в виде линии с неограниченными концами. Прямую нельзя изобразить целиком. Тем не менее, это принятое схематичное изображение подразумевает уход прямой в бесконечность в обе стороны. Прямую обозначают на графике строчными латинскими буквами, например, a или c.
3
Аналитически прямая в плоскости задается уравнением первой степени, в пространстве – системой уравнений. Различают общее, нормальное, параметрическое, векторно-параметрическое, тангенциальное, каноническое уравнения прямой через декартову систему координат.
4
Каноническое уравнение прямой вытекает из системы параметрических уравнений.Параметрические уравнения прямой записываются в следующем виде: X = x_0 + a*t; y = y_0 + b*t.
5
В этой системе приняты следующие обозначения: - x_0 и y_0 – координаты некоторой точки N_0, принадлежащей прямой;- a и b – координаты направляющего вектора прямой (принадлежащего или параллельного ей); - x и y – координаты произвольной точки N на прямой, причем вектор N_0N коллинеарен направляющему вектору прямой;- t – параметр, величина которого пропорциональна расстоянию от начальной точки N_0 до точки N (физический смысл этого параметра – время прямолинейного движения точки N вдоль направляющего вектора, т.е. при t=0 точка N совпадает с точкой N_0).
6
Итак, каноническое уравнение прямой получается из параметрического путем деления одного уравнения на другое методом исключения параметра t:(x – x_0)/(y – y_0) = a/b.Откуда:(x – x_0)/a = (y – y_0)/b.
7
Каноническое уравнение прямой в пространстве задается тремя координатами, следовательно:(x – x_0)/a = (y – y_0)/b = (z – z_0)/c, где c – аппликата направляющего вектора. При этом a^2 + b^2 + c^2 ? 0.

Совет 2: Как найти каноническое уравнение прямой

Прямая является одним из основных и исходных понятий в геометрии. Прямую можно определить как линию, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим. Каноническое уравнение прямой в пространстве возможно записать двумя способами.
Инструкция
1
Если вам необходимо составить каноническое уравнение прямой, проходящей через некоторую точку M с координатами (Xm, Ym, Zm) и направляющим вектором a с координатами (r, s, t), то вам необходимо выполнить следующие действия.
2
Составьте систему параметрических уравнений прямой:X = Xm + r * pY = Ym + s * pZ = Zm + t * p,где p – некоторый произвольный параметр.Из этой системы выразите параметр p и получите требуемое каноническое уравнение прямой:p = (X - Xm)/r = (Y-Ym)/s = (Z - Zm)/t.
3
Пример. Пусть дана прямая, проходящая через точку M (2, 5, 0) и заданная направляющим вектором a = (4, 4, 1). Параметрическое уравнение для данной прямой будет следующим:(X – 2)/4 = (Y - 5)/4 = Z/1.
4
Если вам необходимо найти каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки A (Ax, Ay, Az) и B (Bx, By, Bz), то запишите ту же систему параметрических уравнений, только для обеих точек A и B. X = Ax + r * p , Y = Ay + s * p, Z = Az + t * p X = Bx + r * p , Y = By + s * p, Z = Bz + t * p Выразите из первого уравнения первой системы параметр p: p = (X – Ax)/r. Из первого уравнения второй системы выразите коэффициент r: r = (X - Bx)/p. Далее подставьте значение для r в выражение для p: p = (X – Ax) * p/(X - Bx). Проделайте подобную операцию для всех уравнений системы. Сократив параметр p в числителе всех дробей, вы получите каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки:(X – Ax) /(X - Bx) = (Y – Ay) /(Y - By) = (Z – Az) /(Z - Bz).
5
Пусть прямая проходит через точки A(1, 2, 3) и B(4, 5, 6). Тогда параметрическое уравнение будет иметь следующий вид:(X – 1) /(X – 4) = (Y – 2) /(Y - 5) = (Z – 3) /(Z - 6).
Обратите внимание
Обязательно должно выполняться условие x^2 + y^2+ z^2 ≠ 0. Т.е. координаты направляющего вектора не должны быть равны нулю одновременно.
Совет полезен?
Так как параметрическое уравнение прямой является формальной записью, то выражение вида (X – Xm)/0 допустимо.
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500