Совет 1: Как найти центр вписанной окружности

Окружность может быть вписана в угол или в выпуклый многоугольник. В первом случае она касается обеих сторон угла, во втором — всех сторон многоугольника. Положение ее центра в обоих случаях вычисляется похожими способами. Необходимо провести дополнительные геометрические построения.
Вам понадобится
  • - многоугольник;
  • - угол заданного размера;
  • - окружность с заданным радиусом;
  • - циркуль;
  • - линейка;
  • - карандаш;
  • - калькулятор.
Инструкция
1
Найти центр вписанной окружности означает определить его положение относительно вершины отдельно взятого угла или углов многоугольника. Вспомните, где находится центр окружности, вписанной в угол. Он лежит на биссектрисе. Постройте угол заданного размера и разделите его пополам. Радиус вписанной окружности вы знаете. У вписанной окружности он же является и кратчайшим расстоянием от центра до касательной, то есть перпендикуляром. Касательной в данном случае является сторона угла. Постройте к одной из сторон перпендикуляр, равный заданному радиусу. Конечная его точка должна находиться на биссектрисе. У вас получился прямоугольный треугольник. Назовите его, например, ОСА. О — это вершина треугольника и одновременно центр окружности, ОС — радиус, а ОА — отрезок биссектрисы. Угол ОАС равен половине исходного угла. По теореме синусов найдите отрезок ОА, который является гипотенузой.
2
Для определения местоположения центра вписанной окружности в многоугольнике выполните аналогичные построения. Стороны любого многоугольника по определению являются касательными к вписанной окружности. Соответственно, радиус, проведенный к любой точке касания, будет ей перпендикулярен. В треугольнике центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис, то есть расстояние его от углов определяется точно так же, как и в предыдущем случае.
3
Окружность, вписанная в многоугольник, одновременно является вписанной и в каждый его угол. Это следует из ее определения. Соответственно, расстояние центра от каждой из вершин можно вычислить точно так же, как и в случае с отдельно взятым углом. Это особенно важно помнить, если вы имеете дело с неправильным многоугольником. При вычислениях ромба или квадрата достаточно провести диагонали. Центр совпадет с точкой их пересечения. Определить его расстояние от вершин квадрата можно по теореме Пифагора. В случае с ромбом действует теорема синусов или косинусов, в зависимости от того, какой угол вы используете для вычислений.

Совет 2: Как найти радиус вписанной окружности в равнобедренном треугольнике?

Зная стороны треугольника, можно найти радиус вписанной в него окружности. Для этого используется формула, позволяющая найти радиус, а затем, длину окружности и площадь круга, а также другие параметры.
Инструкция
1
Представьте себе равнобедренный треугольник, в который вписана окружность неизвестного радиуса R. Поскольку окружность является вписанной в треугольник, а не описанной вокруг него, все стороны этого треугольника являются касательными к ней. Высота, проведенная из вершины одного угла перпендикулярно к основанию, совпадает с медианой этого треугольника. Она проходит через радиус вписанной окружности.
Следует отметить, что равнобедренным называется тот треугольник, у которого две боковые стороны равны. Углы при основании этого треугольника должны быть тоже равны. Такой треугольник, одновременно, можно вписать в окружность и описать около нее.
2
Сначала найдите неизвестное основание треугольника. Для этого, как уже сказано выше, проведите высоту из вершины треугольника к его основанию. Высота пересечет центр окружности. Если известна хотя бы одна из сторон треугольника, например, сторона CB, то вторая сторона ей равна, так как треугольник является равнобедренным. В данном случае, это - сторона AC. Третью сторону, которая является основанием треугольника, найдите по теореме Пифагора:
c^2=a^2+a^2-2a^2*cosy
Угол y между двумя равными сторонами найдите исходя из того, что в равнобедренном треугольнике два угла равны. Соответственно, третий угол равен y=180-(a+b).
3
Найдя все три стороны треугольника, перейдите к решению задачи. Формула, связывающая длины сторон и радиус, выглядит следующим образом:
r=(p-a)(p-b)(p-c)/p, где p=a+b+c/2 - сумма всех сторон, разделенных пополам, или полупериметр.
Если в окружность вписан равнобедренный треугольник, то в таком случае гораздо легче находить радиус окружности. При знании радиуса окружности, можно найти такие важные параметры, как площадь круга и длина окружности. Если в задании, наоборот, дан радиус окружности - это является, в свою очередь, предпосылкой к нахождению сторон треугольника. Найдя стороны треугольника, можно вычислить его площадь и периметр. Эти вычисления широко применяются во многих инженерных задачах. Планиметрия - это базовая наука, с помощью которой изучают более сложные геометрические вычисления.
Источники:
  • равнобедренный треугольник и вписанная окружность
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500