Совет 1: Как решать однородные системы линейных уравнений

Однородная система линейных уравнений подразумевает тот факт, что свободный член каждого уравнения в системе равен нулю. Таким образом, данная система представляет собой линейные комбинации.
Вам понадобится
  • Учебник по высшей математике, лист бумаги, шариковая ручка.
Инструкция
1
В первую очередь, обратите внимание на то, что любая однородная система уравнений всегда совместна, что означает, что она всегда имеет решение. Это обосновывается самим определением однородности данной системы, а именно нулевым значением свободного члена.
2
Одним из тривиальных решений такой системы является нулевое решение. Чтобы убедиться в этом, подставьте нулевые значения переменных и посчитайте общую сумму в каждом уравнении. Вы получите правильное тождество. Так как свободные члены системы равны нулю, то нулевые значения переменных уравнений составляют одно из множества решений.
3
Выясните, существуют ли другие решения у данной системы уравнений. Для этой цели вам необходимо записать матрицу системы. Матрица системы уравнений состоит из коэффициентов. стоящих перед переменными. Номер матричного элемента содержит в себе, во-первых, номер уравнения, во-вторых, номер переменной. По данному правилу можно определить, в какое место матрицы необходимо поставить коэффициент. Заметьте, что в случае решения однородной системы уравнений нет необходимости записывать матрицу свободных членов, ибо она равняется нулю.
4
Приведите матрицу системы к ступенчатому виду. Этого можно достигнуть, применяя элементарные матричные преобразования, заключающиеся в суммировании или вычитании строк, а также в умножении строк на некоторое число. Все перечисленные операции не влияют на результат решения, а просто позволяют записать матрицу в удобном виде. Ступенчатость матрицы означает, что все элементы, располагающиеся ниже главной диагонали, должны быть равны нулю.
5
Запишите новую матрицу, полученную в результате эквивалентных преобразований. Перепишите систему уравнений, исходя из знаний новых коэффициентов. Вы должны получить в первом уравнении количество членов линейной комбинации, равное общему количеству переменных. Во втором уравнении количество членов должно быть на единицу меньше, чем в первом. Самое последнее уравнение системы должно содержать только одну переменную, что позволяет найти ее значение.
6
Определите значение последней переменной из последнего уравнения. Далее подставьте данное значение в предыдущее уравнение, обнаруживая таким образом значение предпоследней переменной. Продолжая данную процедуру раз за разом, переходя от одного уравнения к другому, вы найдете значения всех необходимых переменных.

Совет 2: Как решать дифференциальные линейные уравнения

Дифференциальное уравнение, в которое неизвестная функция и ее производная входят линейно, то есть в первой степени, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Инструкция
1
Общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка таков:

y′ + p(x)*y = f(x),

где y — неизвестная функция, а p(x) и f(x) — некоторые заданные функции. Они считаются непрерывными в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение. В частности, они могут быть и константами.
2
Если f(x) ≡ 0, то уравнение называют однородным; если нет — то, соответственно, неоднородным.
3
Линейное однородное уравнение может быть решено методом разделения переменных. Его общий вид: y′ + p(x)*y = 0, следовательно:

dy/dx = -p(x)*y, откуда следует, что dy/y = -p(x)dx.
4
Интегрируя обе части получившегося равенства, получаем:

∫(dy/y) = - ∫p(x)dx, то есть ln(y) = - ∫p(x)dx + ln(C) или y = C*e^(- ∫p(x)dx)).
5
Решение неоднородного линейного уравнения можно вывести из решения соответствующего однородного, то есть того же самого уравнения с отброшенной правой частью f(x). Для этого нужно заменить константу C в решении однородного уравнения неизвестной функцией φ(x). Тогда решение неоднородного уравнения будет представлено в виде:

y = φ(x)*e^(-∫p(x)dx)).
6
Дифференцируя это выражение, получим, что производная от y равна:

y′ = φ′(x)*e^(- ∫p(x)dx) - φ(x)*p(x)* e^(- ∫p(x)dx).

Подставив найденные выражения для y и y′ в исходное уравнение и упростив полученное, легко прийти к результату:

dφ/dx = f(x)*e^( ∫p(x)dx).
7
После интегрирования обеих частей равенства оно получает вид:

φ(x) = ∫(f(x)*e^(∫p(x)dx))dx + C1.

Таким образом, искомая функция y выразится в виде:

y = e^(- ∫p(x)dx)*(C + ∫f(x)*e^(∫p(x)dx))dx).
8
Если приравнять постоянную C нулю, то из выражения для y можно получить частное решение заданного уравнения:

y1 = (e^(- ∫p(x)dx))*(∫f(x)*e^(∫p(x)dx))dx).

Тогда полное решение можно будет выразить в виде:

y = y1 + C*e^(- ∫p(x)dx)).
9
Иными словами, полное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка равно сумме его частного решения и общего решения соответствующего однородного линейного уравнения первого порядка.
Источники:
  • Образовательный сайт "Экспонента" - дифференциальные уравнения
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500