Совет 1: Как получить обратную матрицу

Для каждой невырожденной (с определителем |A|, не равном нулю) квадратной матрицы А существует единственная обратная матрица, обозначаемая А^(-1), такая, что (А^(-1))А=А, А^(-1)=Е.
Инструкция
1
Е называется единичной матрицей. Она состоит из единиц на главной диагонали – остальное нули. Вычисляется А^(-1) следующим образом (см. рис.1.).Здесь А(ij) – алгебраическое дополнение элемента а(ij) определителя матрицы А. А(ij) получают удалением из |A| строки и столбца, на пересечении которых лежит а(ij), и умножением вновь полученного определителя на (-1)^(i+j).Фактически присоединенная матрица – это транспонированная матрица из алгебраических дополнений элементов А. Транспонирование – это замена столбцов матрицы на строки (и наоборот). Tранспонированная матрица обозначается А^T.
2
Самыми простыми являются матрицы размера 2х2. Здесь любое алгебраическое дополнение - просто противоположный по диагонали элемент, взятый со знаком «+», если сумма индексов его номера четна, и со знаком «-», если нечетна. Таким образом, чтобы записать обратную матрицу, на главной диагонали исходной матрицы, требуется поменять местами ее элементы, а на побочной диагонали - оставить их на месте, но изменить знак, а затем все поделить на |A|.
3
Пример 1. Найти обратную матрицу A^(-1), представленную на рисунке 2.
4
Определитель этой матрицы не равен нулю (|A|=6) (по правилу Саррюса, оно же правило треугольников). Это существенно, так как А не должна быть вырожденной. Далее находим алгебраические дополнения матрицы А и присоединенную матрицу для А (см. рис. 3).
5
При большей размерности процесс вычисления обратной матрицы становится слишком громоздким. Поэтому в таких случаях следует прибегать к помощи специализированных компьютерных программ.

Совет 2: Как найти матрицу, обратную данной

Обратная матрица обозначатся А^(-1). Она существует для каждой невырожденной квадратной матрицы А (определитель |A| не равен нулю). Определяющее равенство – (А^(-1))А=А А^(-1)=Е, где Е - единичная матрица.
Вам понадобится
  • - бумага;
  • - ручка.
Инструкция
1
Метод Гаусса заключается в следующем. Первоначально записывается данная по условию матрица А. Справа к ней добавляется расширение, состоящее из единичной матрицы. Далее выполняется последовательное эквивалентное преобразование строк А. Действие осуществляется до тех пор, пока слева не образуется единичная матрица. Матрица, появившаяся на месте расширенной матрицы (справа) и будет являться А^(-1). При этом стоит придерживаться следующей стратегии: сперва необходимо добиться нулей снизу главной диагонали, а затем сверху.Данный алгоритм прост при написании, но на практике к нему необходимо привыкнуть. Однако в последствие вы сможете выполнять большую часть действий в уме. Поэтому в примере все действия будут выполняться крайне подробно (вплоть до отдельного выписывания строк).
2
обратную данной" class="colorbox imagefield imagefield-imagelink" rel="gallery-step-images"> Пример. Дана матрица (см. рис.1). Для наглядности в искомую матрицу сразу же добавлено ее расширение. Найти матрицу, обратную данной. Решение. Все элементы первой строки умножьте на 2. Получите: (2 0 -6 2 0 0). Полученный результат необходимо вычесть из всех соответствующих элементов второй строки. В итоге у вас должны быть следующие значения: (0 3 6 -2 1 0). Поделив данную строку на 3, получите (0 1 2 -2/3 1/3 0). Запишите эти значения в новой матрице во вторую строку.
3
Целью этих операций является получение «0» на пересечении второй строки и первого столбца. Таким же образом следует получить «0» на пересечении третей строки и первого столбца, но там уже «0», поэтому переходите к следующему этапу.Необходимо сделать «0» на пересечении третей строки и второго столбца. Для этого разделите вторую строку матрицы на «2», а затем вычтете полученное значение из элементов третей строки. Полученное значение имеет вид (0 1 2 -2/3 1/3 0 ) – это новая вторая строка.
4
Теперь следует вычесть вторую строку из третьей, а полученные значения разделить на «2». В итоге у вас должна получиться следующая строка: (0 0 1 1/3 -1/6 1). В итоге проведенных преобразований, промежуточная матрица будет иметь вид (см.рис.2).Следующий этап – преобразование «2», находящейся на пересечении второй строки и третьего столбца, в «0». Для этого умножьте третью строку на «2», а полученные значение вычитайте из второй строки. В результате новая вторая строка будет содержать следующие элементы:(0 1 0 -4/3 2/3 -1).
5
Теперь умножьте третью строку на «3» и прибавьте полученные значения к элементам первой строки. В итоге получите новую первую строку (1 0 0 2 -1/2 3/2). При этом искомая обратная матрица находится на месте расширения справа (рис.3).
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500