Инструкция
1
Кривизна любой линии определяется скоростью поворота ее касательной в точке x при движении этой точки по кривой. Поскольку тангенс угла наклона касательной равен значению производной от f(x) в этой точке, то скорость изменения этого угла должна зависеть от второй производной.
2
Эталоном кривизны логично принять окружность, поскольку она равномерно искривлена на всем своем протяжении. Радиус такой окружности есть мера ее кривизны.

По аналогии, радиусом кривизны заданной линии в точке x0 называется радиус окружности, которая наиболее точно измеряет степень ее искривленности в этой точке.
3
Требуемая окружность должна соприкасаться с заданной кривой в точке x0, то есть располагаться со стороны ее вогнутости так, чтобы касательная к кривой в этой точке была также и касательной к окружности. Это значит, что если F(x) — уравнение окружности, то должны выполняться равенства:

F(x0) = f(x0),
F′(x0) = f′(x0).

Таких окружностей, очевидно, существует бесконечно много. Но для измерения кривизны необходимо выбрать ту, которая наиболее точно соответствует заданной кривой в этой точке. Поскольку кривизна измеряется второй производной, то к этим двум равенствам необходимо добавить еще и третье:

F′′(x0) = f′′(x0).
4
Исходя из этих соотношений, радиус кривизны вычисляется по формуле:

R = ((1 + f′(x0)^2)^(3/2))/(|f′′(x0)|).

Величина, обратная радиусу кривизны, называется кривизной линии в данной точке.
5
Если f′′(x0) = 0, то радиус кривизны равен бесконечности, то есть линия в этой точке не искривлена. Это всегда верно для прямых, а также для любых линий в точках перегиба. Кривизна в таких точках, соответственно, равна нулю.
6
Центр окружности, измеряющей кривизну линии в заданной точке, называется центром кривизны. Линия, являющаяся геометрическим местом для всех центров кривизны заданной линии, называется ее эволютой.