Совет 1: Как найти косинус угла прямоугольного треугольника

Косинус - это одна из двух тригонометрических функций, отнесенных к группе «прямых». Одно из простейших определений таких функций очень давно было выведено из соотношений длин сторон и величин углов в вершинах прямоугольного треугольника. Вычисление значения косинуса острого угла такого треугольника по этим базовым определениям возможно несколькими способами, выбор которых зависит от известных исходных данных.
Инструкция
1
Если известна величина интересующего вас острого угла, то вычисление сведется к нахождению значения косинуса с помощью любого калькулятора или онлайн-вычислителя. Если вы выберите калькулятор, то используйте, например, встроенную в ОС Windows программу этого рода. Она запускается через главное меню на кнопке «Пуск», в котором ссылка «Калькулятор» помещена в подраздел «Служебные» раздела «Стандартные», открываемого выбором в меню пункта «Все программы».
2
Если известна величина не того угла, косинус которого требуется вычислить, а угла, примыкающего к противоположному концу гипотенузы, то исходите из того, что в евклидовой геометрии сумма всех углов треугольника всегда равна 180°. Используя эту классическую теорему вычислите нужный угол - отнимите от 180° известный угол и угол прямой (90°). После этого исходные данные и метод вычисления совпадут с теми, что описаны в предыдущем шаге.
3
Если величины острых углов прямоугольного треугольника неизвестны, но есть данные о длинах его сторон, то для нахождения значения косинуса нужного угла задействуйте базовое определение этой тригонометрической функции. Оно утверждает, что косинус острого угла равен соотношению длин катета и гипотенузы, образующих этот угол.
4
Если длина именно того катета, который прилегает к нужному углу, неизвестна, то ее можно рассчитать, исходя из теоремы Пифагора, а затем прибегнуть к методу, описанному в предыдущем шаге. Как вы наверняка помните, эта теорема утверждает, что сумма квадратов длин катетов прямоугольного треугольника всегда равна квадрату длины его гипотенузы. Поэтому для вычисления длины недостающей стороны найдите квадратный корень из разности между квадратами длин гипотенузы и известного катета, а затем действуйте так, как описано в предыдущем шаге.
5
Если неизвестна длина гипотенузы, то используйте ту же самую теорему - найдите значение квадратного корня из суммы возведенных в квадрат длин катетов и возвращайтесь к методу, описанному в третьем шаге.

Совет 2: Как находить косинус в треугольнике

Нередко в геометрических (тригонометрических) задачах требуется найти косинус угла в треугольнике, потому что косинус угла позволяет однозначно определить величину самого угла.
Инструкция
1
Чтобы найти косинус угла в треугольнике, длины сторон которого известны, можно воспользоваться теоремой косинусов. Согласно этой теореме, квадрат длины стороны произвольного треугольника равняется сумме квадратов двух его других сторон без удвоенного произведения длин этих сторон на косинус угла между ними:

а?=b?+c?-2*b*c*соs?, где:

а, b, с – стороны треугольника (точнее их длины),

? – угол, противоположный стороне а (его величина).

Из приведенного равенства легко находится соs?:

соs?=( b?+c?-а? )/(2*b*c)

Пример 1.

Имеется треугольник со сторонами а, b, с, равными 3, 4, 5 мм, соответственно.

Найти косинус угла, заключенного между большими сторонами.

Решение:

По условию задачи имеем:

а=3,

b=4,

с=5.

Обозначим противоположный стороне а угол через ?, тогда, согласно выведенной выше формуле, имеем:

соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40=32/40=0,8

Ответ: 0,8.
2
Если треугольник прямоугольный, то для нахождения косинуса угла достаточно знать длины всего двух любых сторон (косинус прямого угла равен 0).

Пусть имеется прямоугольный треугольник со сторонами а, b, с, где с – гипотенуза.

Рассмотрим все варианты:

Пример 2.

Найти соs?, если известны длины сторон а и b (катеты треугольника)

Воспользуемся дополнительно теоремой Пифагора:

c?=b?+а?,

с=v(b?+а?)

соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?))=(2*b?)/(2*b*v(b?+а?))=b/v(b?+а?)

Чтобы проверить правильность полученной формулы, подставим в нее значения из примера 1, т.е.

а=3,

b=4.

Проделав элементарные вычисления, получаем:

соs?=0,8.
3
Аналогично находится косинус в прямоугольном треугольнике в остальных случаях:

Пример 3.

Известны а и с (гипотенуза и противолежащий катет), найти соs?

b?=с?-а?,

b=v(c?-а?)

соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?))=(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.

Подставляя значения а=3 и с=5 из первого примера, получаем:

соs?=0,8.
4
Пример 4.

Известны b и с (гипотенуза и прилежащий катет).

Найти соs?

Произведя аналогичные (показанные в примерах 2 и 3 преобразования), получим, что в этом случае косинус в треугольнике вычисляется по очень простой формуле:

соs?=b/с.

Простота выведенной формулы объясняется элементарно: фактически, прилежащий к углу ? катет является проекцией гипотенузы, поэтому его длина равна длине гипотенузы, умноженной на соs?.

Подставляя значения b=4 и с=5 из первого примера, получим:

соs?=0,8

Значит, все наши формулы верны.
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500