Совет 1: Как умножить вектор на матрицу

В теории матриц вектором называется матрица, имеющая только один столбец или только одну строку. Умножение такого вектора на другую матрицу происходит по общим правилам, однако имеет и свои особенности.
Инструкция
1
По определению произведения матриц умножение возможно только в том случае, если количество столбцов первого множителя равно количеству строк второго. Следовательно, вектор-строку удастся умножить только на матрицу, в которой столько же строк, сколько элементов в вектор-строке. Аналогично, вектор-столбец можно умножить только на матрицу, в которой столько же столбцов, сколько элементов в вектор-столбце.
2
Умножение матриц некоммутативно, то есть если A и B — матрицы, то A*B ≠ B*A. Более того, существование произведения A*B вовсе не гарантирует существования произведения B*A. Например, если матрица A имеет размеры 3*4, а матрица B — 4*5, то произведение A*B — матрица размером 3*5, а B*A не определено.
3
Пусть задан: вектор-строка A = [a1, a2, a3 … an] и матрица B размерности n*m, элементы которой равны:
[b11, b12, b13, … b1m;
b21, b22, b23, … b2m;

bn1, bn2, bn3, … bnm].
4
Тогда произведение A*B будет вектор-строкой размерности 1*m, причем каждый элемент ее равен:

Cj = ∑ai*bij (i = 1 … n, j = 1 … m).

Иными словами, для нахождения i-того элемента произведения нужно умножить каждый элемент вектора-строки на соответствующий ему по порядку элемент i-того столбца матрицы и просуммировать эти произведения.
5
Аналогично, если задана матрица A размерности m*n и вектор-столбец B размерности n*1, то их произведение будет вектором-столбцом размерности m*1, i-тый элемент которого равен сумме произведений элементов вектора-столбца B на соответствующие им элементы i-той строки матрицы A.
6
Если A — вектор-строка размерности 1*n, а B — вектор-столбец размерности n*1, то произведение A*B является числом, равным сумме произведений соответствующих элементов этих векторов:

c = ∑ai*bi (i = 1 … n).

Это число называется скалярным, или внутренним, произведением.
7
Результат умножения B*A в этом случае является квадратной матрицей размерности n*n. Ее элементы равняются:

Cij = ai*bj (i = 1 … n, j = 1 … n).

Такая матрица называется внешним произведением векторов.

Совет 2: Как умножить вектор на число

Если об одной из двух крайних точек произвольного отрезка можно сказать, что именно она является начальной, то этот отрезок следует называть вектором. Начальную точку считают точкой приложения вектора, а длину отрезка - его длиной или модулем. С векторами можно осуществлять разнообразные операции, в том числе и умножать на произвольное число.
Инструкция
1
Определите длину (модуль) вектора, который требуется умножить на число. Если этот вектор изображен на каком-либо чертеже, то просто измерьте расстояние между его начальной и конечной точками.
2
Если решение надо отобразить на бумаге, то измеренную на предыдущем шаге длину (модуль) вектора умножьте на абсолютное значение числа, данного в исходных условиях задачи. Например, если длина вектора равна 5см, а число, на которое надо умножать, равно -7,5, то перемножьте 5 на 7,5 (5*7,5=37,5см).
3
Отобразите полученный результат на бумаге. При этом начальная точка будет совпадать с исходной, а конечная должна отстоять от нее на расстояние, полученное вами на предыдущем шаге. Если число, на которое умножается этот направленный отрезок, отрицательно, то направление результирующего вектора изменится на противоположное, а если положительно - просто продлите существующий отрезок до новой длины.
4
Если начальная и конечная точки исходного вектора заданы в какой-либо системе координат, то проще всего сначала определить координаты новой конечной точки. Для этого определите длины проекций на каждую из координатных осей и умножьте их на заданное число по отдельности. Например, пусть направленный отрезок AB в трехмерной системе координат определен начальной точкой A(1;4;5) и конечной точкой B(3;5;7), а умножить его надо на число 3. Тогда длина проекции на ось X равна 3-1=2, а после умножения на 3 она должна стать равной 2*3=6. Аналогично рассчитайте новые длины проекций на оси Y и Z: (5-4)*3=3 и (7-5)*3=6. Затем вычислите координаты новой конечной точки (C), прибавив полученные величины проекций к координатам начальной точки: 1+6=7, 4+3=7 и 5+6=11. Т.е. результирующий вектор AC будет образован начальной точкой A(1;4;5) и конечной точкой С(7;7;11).
Поиск
ВАЖНО! Проблемы сердца сильно "помолодели". Потратьте 3 минуты на просмотр ролика. Защитите себя и близких от страшных проблем.
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500