Совет 1: Как найти значение аргумента при заданном значении функции

Каждому значению функции соответствует одно или несколько значений аргумента, при которых выполняется заданная функциональная зависимость. Нахождение аргумента зависит от способа задания функции.
Инструкция
1
Функция может быть задана в виде математического выражения или графическим изображением. Если многочлен записан в каноническом виде, а график представляет узнаваемую кривую, то возможно определить значения аргумента на разных участках координатной плоскости. Например, если задана функция Y=√x, то аргумент может принимать только положительные значения. А для функции F=1/х недопустимо значение аргумента х=0.
2
Если функция задана графически некоторой произвольной кривой, выводы о значениях аргумента можно делать лишь на видимой части графика в области координат. Возможно, что на разных интервалах действуют разные функциональные зависимости. Для нахождения значения аргумента, соответствующего определенному значению функции, найдите заданное число на оси OY. Проведите из этой точки перпендикуляр до пересечения с заданной кривой. Из полученной точки опустите перпендикуляр на ось ОХ. Число на оси ОХ является искомым значением аргумента. Возможно, что перпендикуляр оси ординат пересекает график в нескольких точках. В этом случае из каждой точки пересечения опустите перпендикуляры на ось абсцисс и запишите найденные числовые значения аргумента. Все они соответствуют заданному числовому значению функции.
3
Если функция задана математическим выражением, сначала упростите запись. Затем для нахождения аргумента решите уравнение, приравняв математическое выражение к заданному значению функции. Например, для функции Y=х² значению функции Y=4 соответствуют значения аргумента х₁=2 и х₂=-2. Эти значения получены из решения уравнения х² =4.

Совет 2: Как найти значение выражений

Некоторые родители, помогая своим детям-младшим школьникам в выполнении домашнего задания по математике, попадают в тупик, забыв правила нахождения значения выражения. Множество вопросов, как правило, возникает в процессе решения заданий из программы 4 класса. Это связано с увеличением числа письменных вычислений, возникновением многозначных чисел, а также действий с ними. Тем не менее, эти правила достаточно просты, и их очень легко вспомнить.
Вам понадобится
  • - учебник;
  • - черновик;
  • - ручка.
Инструкция
1
Перепишите математическое выражение из учебника в черновик. Приучайте ребенка выполнять все вычисления сначала именно в черновике, во избежание грязи в рабочей тетради.
2
Посчитайте количество необходимых действий и подумайте, в каком порядке их следует выполнять. Если вас затрудняет данный вопрос, обратите внимание, что прежде других выполняются действия, заключенные в скобки, затем – деление и умножение; сложение и вычитание производятся в последнюю очередь. Чтобы ребенку было легче запомнить алгоритм выполняемых действий, в выражении над каждым знаком-оператором действий (+,-,*,:) тонким карандашом проставьте цифры, соответствующие порядку выполнения действий.
3
Приступайте к выполнению первого действия, придерживаясь установленного порядка. Считайте в уме, если действия легко выполнить устно. Если же требуются письменные вычисления (в столбик), осуществляйте их запись под выражением, указывая порядковый номер действия.
4
Четко отслеживайте последовательность выполняемых действий, оценивайте, что из чего нужно вычесть, что на что разделить и т.п. Очень часто ответ в выражении получается неверным из-за допущенных ошибок на данном этапе.
5
Следите, чтобы ребенок в процессе вычислений не пользовался калькулятором, так как в таком случае теряется весь смысл изучения математики, который состоит в развитии логики и мышления.
6
Не решайте задания за ребенка - пусть он выполняет его сам, вы лишь должны направлять его действия в нужное русло. Взывайте к его памяти, просите вспомнить о том, как объяснял материал учитель во время урока.
7
Выполнив по порядку все действия и найдя значение выражения, которым является ответ в последнем действии, запишите его в условии выражения после знака «равно».
8
Если в конце учебника приведены ответы на задания, сравните полученный результат с правильным числом. В случае несоответствия данных приступайте к повторным вычислениям.

Совет 3: Как найти промежуточное значение

Для определения неизвестных промежуточных значений какой-либо функции или табличных данных в вычислительной математике используется аппарат интерполяции. Дискретный набор известных параметров может быть задан аргументами x0, х1 . . . xn и значениями функции yj=f(xj) (где j=0, 1, . . . , n). В простом частном случае задача поиска промежуточных значений указанного ряда может быть решена с помощью проведения линейной интерполяции.
Инструкция
1
Суть линейной интерполяции можно описать следующим допущением: в промежутке между известными соседними табличными значениями аргумента xi и xj рассматриваемую функцию y=f(x) можно приближенно считать линейной. Иными словами, на этом промежутке значение функции изменяется пропорционально изменению аргумента.
2
Более наглядно данное допущение можно отобразить в графическом виде в декартовой системе координат. Рассматриваемый отрезок функции уi и уj представляется непрерывной прямой с известными координатами. При поиске промежуточного значения функции Y, неизвестный аргумент Х находится между соседних значений хi и xj. Таким образом, можно записать следующие неравенства хi < X < хj, yi < Y < yj.
3
Выразите записанные условия в виде пропорции следующего вида: (yj – yi)/(хj – хi) = (Y – yi)/(Х – хi). Здесь yj и хj – конечные значения, yi, хi – начальные значения отрезка, Y и Х – искомые промежуточные значения.
4
Как видно из пропорции при заданном приращении аргумента Х - хi легко найти соответствующее изменение функции Y – yi. Выразите приращение: Y – yi = ((yj – yi)/(хj – хi))*(Х – хi).
5
Таким образом, промежуточные значения функции можно определить, зная лишь приращение, на которое произошло изменение аргумента. Вычислите разности yj – yi и хj – хi при заданном шаге аргумента Х – хi. Подставляя полученные значения в формулу приращения, найдите показатель изменения функции.
6
Найдите промежуточное значение Y. Для этого к полученному значению приращения прибавьте начальный показатель функции уi на рассматриваемом отрезке. Аналогичным образом находится любое промежуточное значение с заданным шагом приращения.
7
Если стоит задача в определении аргумента X по заданным значениям функции y=f(x), проводится обратная линейная интерполяция. Ее суть заключается в отыскании значения X с помощью той же пропорции, только теперь в качестве известного параметра выступает приращение функции Y – уi. С помощью аналогичных преобразований находится неизвестное промежуточное значение аргумента Х = ((yj – yi)/(хj – хi))/(Y – уi) + хi.

Совет 4: Как найти монотонность функции

Монотонность — это определение поведения функции на отрезке числовой оси. Функция может быть монотонно возрастающей или монотонно убывающей. На участке монотонности функция непрерывна.
Инструкция
1
Если на некотором числовом промежутке с ростом аргумента функция увеличивается, то на этом участке функция монотонно возрастает. График функции на участке монотонного возрастания направлен снизу вверх. Если каждому меньшему значению аргумента соответствует уменьшающаяся по сравнению с предыдущей величина функции, то такая функция является монотонно убывающей, а ее график постоянно понижается.
2
Монотонные функции обладают определенными свойствами. Например, сумма монотонно возрастающих (убывающих) функций есть возрастающая (убывающая) функция. При умножении возрастающей функции на постоянный положительный множитель эта функция сохраняет монотонный рост. Если же постоянный множитель меньше нуля, то функция из монотонно возрастающей становится монотонно убывающей.
3
Границы интервалов монотонного поведения функции определяются при исследовании функции с помощью первой производной. Физический смысл первой производной функции — это скорость изменения данной функции. У растущей функции скорость постоянно увеличивается, другими словами — если первая производная на некотором интервале положительна, функция на этом участке монотонно возрастающая. И наоборот — если на отрезке числовой оси первая производная функции меньше нуля, то эта функция монотонно убывает в границах интервала. Если производная равна нулю, то значение функции не меняется.
4
Для исследования функции на монотонность на заданном интервале с помощью первой производной определите, принадлежит ли данный интервал к области допустимых значений аргумента. Если функция на данном отрезке оси существует и дифференцируема, найдите ее производную. Определите условия, при которых производная больше или меньше нуля. Сделайте вывод о поведении исследуемой функции. Например, производная линейной функции есть постоянное число, равное множителю при аргументе. При положительном значении этого множителя исходная функция монотонно возрастает, при отрицательном — монотонно убывает.

Совет 5: Как найти минимальное значение функции

Необходимость найти минимальное значение математической функции представляет собой практический интерес в решении прикладных задач, например, в экономике. Большое значение для предпринимательской деятельности имеет минимизация убытков.
Инструкция
1
Чтобы найти минимальное значение функции, нужно определить, при каком значении аргумента x0 будет выполняться неравенство y(x0) ≤ y(x), где x ≠ x0. Как правило, эта задача решается на определенном интервале или во всей области значений функции, если таковой не задан. Одним из аспектов решения является нахождение стационарных точек.
2
Стационарной точкой называется значение аргумента, при котором производная функции обращается в ноль. Согласно теореме Ферма, если дифференцируемая функция принимает экстремальное значение в некоторой точке (в данном случае – локальный минимум), то эта точка является стационарной.
3
Минимальное значение функция часто принимает именно в этой точке, однако ее можно определить не всегда. Более того, не всегда можно с точностью сказать, чему равен минимум функции или он принимает бесконечно малое значение. Тогда, как правило, находят предел, к которому она стремится при убывании.
4
Для того чтобы определить минимальное значение функции, нужно выполнить последовательность действий, состоящую из четырех этапов: нахождение области определения функции, получение стационарных точек, анализ значений функции в этих точках и на концах интервала, выявление минимума.
5
Итак, пусть задана некоторая функция y(x) на интервале с границами в точках А и В. Найдите область ее определения и выясните, является ли интервал ее подмножеством.
6
Вычислите производную функции. Приравняйте полученное выражение нулю и найдите корни уравнения. Проверьте, попадают ли эти стационарные точки в интервал. Если нет, то на следующем этапе они не учитываются.
7
Рассмотрите интервал на предмет типа границ: открытые, закрытые, комбинированные или бесконечные. От этого зависит, как вы будете искать минимальное значение. Например, отрезок [А, В] является закрытым интервалом. Подставьте их в функцию и рассчитайте значения. То же самое проделайте со стационарной точкой. Выберите минимальный результат.
8
С открытыми и бесконечными интервалами дело обстоит несколько сложнее. Здесь придется искать односторонние пределы, которые не всегда дают однозначный результат. Например, для интервала с одной закрытой и одной выколотой границей [А, В) следует найти функцию при х = А и односторонний предел lim y при х → В-0.

Совет 6: Как определить наибольшее значение функции

Исследование такого объекта математического анализа как функция имеет большое значение и в других областях науки. Например, в экономическом анализе постоянно требуется оценить поведение функции прибыли, а именно определить ее наибольшее значение и разработать стратегию его достижения.
Инструкция
1
Исследование поведения любой функции всегда следует начинать с поиска области определения. Обычно по условию конкретной задачи требуется определить наибольшее значение функции либо на всей этой области, либо на конкретном ее интервале с открытыми или закрытыми границами.
2
Исходя из названия, наибольшим является такое значение функции y(x0), при котором для любой точки области определения выполняется неравенство y(x0) ≥ y(x) (х ≠ x0). Графически эта точка будет наивысшей, если расположить значения аргумента по оси абсцисс, а саму функцию по оси ординат.
3
Чтобы определить наибольшее значение функции, следуйте алгоритму из трех этапов. Учтите, что вы должны уметь работать с односторонними и бесконечными пределами, а также вычислять производную. Итак, пусть задана некоторая функция y(x) и требуется найти ее наибольшее значение на некотором интервале с граничными значениями А и В.
4
Выясните, входит ли этот интервал в область определения функции. Для этого необходимо ее найти, рассмотрев все возможные ограничения: присутствие в выражении дроби, логарифма, квадратного корня и т.д. Область определения – это множество значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Определите, является ли данный интервал его подмножеством. Если да, то переходите к следующему этапу.
5
Найдите производную функции и решите полученное уравнение, приравняв производную к нулю. Таким образом, вы получите значения так называемых стационарных точек. Оцените, принадлежит ли хоть одна из них интервалу А, В.
6
Рассмотрите на третьем этапе эти точки, подставьте их значения в функцию. В зависимости от типа интервала произведите следующие дополнительные действия. При наличии отрезка вида [А, В] граничные точки входят в интервал, об этом говорят квадратные скобки. Вычислите значения функции при х = А и х = В. Если открытый интервал (А, В), граничные значения являются выколотыми, т.е. не входят в него. Решите односторонние пределы для х→А и х→В. Комбинированный интервал вида [А, В) или (А, В], одна из границ которого принадлежит ему, другая – нет. Найдите односторонний предел при х, стремящемся к выколотому значению, а другое подставьте в функцию. Бесконечный двусторонний интервал (-∞, +∞) или односторонние бесконечные промежутки вида: [A, +∞), (A,+∞), (-∞; B], (-∞, B). Для действительных пределов А и В действуйте согласно уже описанным принципам, а для бесконечных ищите пределы для х→-∞ и х→+∞ соответственно.
7
Задача на этом этапе состоит в том, чтобы понять, соответствует ли стационарная точка наибольшему значению функции. Это так, если она превышает значения, полученные описанными способами. В случае, если задано несколько интервалов, стационарное значение учитывается только в том из них, который его перекрывает. Иначе рассчитывайте наибольшее значение по граничным точкам интервала. То же делайте в ситуации, когда стационарных точек попросту нет.
Видео по теме
Обратите внимание
Может получиться так, что односторонний предел примет бесконечное значение. Тогда однозначно определить наибольшее значение нельзя, можно лишь выявить максимальное значение (экстремум), к которому функция стремится.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500