Совет 1: Как построить вписанную окружность

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она полностью размещается внутри этого многоугольника. Каждая сторона описанной фигуры имеет с окружностью общую точку.
Вам понадобится
  • -циркуль
  • -карандаш
  • -линейка
  • -лист бумаги
Инструкция
1
Для построения необходимо найти внутри многоугольника центр вписанной окружности и определить ее радиус. Вписать окружность можно не в каждый многоугольник. Уточните, позволяют ли свойства заданной фигуры вписать в нее окружность. Не получится вписать окружность в произвольный неправильный многоугольник, не имеющий ни одной оси симметрии.
2
В любом треугольнике можно построить вписанную окружность, и эта окружность будет единственной для данного треугольника. Ее центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника, поскольку именно биссектриса является геометрическим местом точек, одинаково удаленных от сторон угла.
3
Для нахождения центра вписанной окружности сделайте из тонкой бумаги копию заданного треугольника. Аккуратно сложите этот вспомогательный треугольник сторона к стороне от одной вершины. Линия сгиба разделит угол при вершине пополам. Повторите сложение от двух других вершин. Точка пересечения линий сгибов и будет центром вписанной окружности. Наложите копию на заданный треугольник и иглой циркуля поставьте точку центра. Для нахождения радиуса вписанной окружности опустите перпендикуляр на любую сторону треугольника. Полученным радиусом начертите окружность.
4
Из четырехугольников окружность можно вписать лишь в те, у которых суммы противоположных сторон равны. Под это условие подходят любые квадраты, ромбы и трапеции с определенными параметрами. В квадрате и ромбе центр вписанной окружности лежит в точке пересечения диагоналей. Радиус равен половине стороны квадрата или перпендикуляру, опущенному из центра на любую сторону ромба.
5
В трапеции радиус очевидно равен половине высоты. Центр лежит на средней линии трапеции. Для нахождения центра достаточно провести биссектрису любого угла трапеции до пересечения со средней линией.
6
В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Центр такой окружности лежит в точке пересечения биссектрис, а радиус равен перпендикуляру из центра на любую сторону.

Совет 2: Как начертить вписанную окружность

Важно знать, что окружность может быть вписана как в угол, так и в многоугольник. Однако построение вписанной окружности возможно для любого угла, но не для любого многоугольника. Причем в один и тот же угол можно вписать множество разных окружностей, а в многоугольник – только одну.
Вам понадобится
  • Циркуль, линейка, карандаш
Инструкция
1
Если вам требуется вписать окружность в определенный угол, начните с построения биссектрисы этого угла. Затем выберите на этой биссектрисе произвольную точку – она будет центром вписанной окружности. Из этой точки проведите перпендикуляр к одной из сторон угла. После этого возьмите циркуль, поставьте его в выбранную на биссектрисе точку и проведите окружность, радиус которой будет равен длине построенного вами перпендикуляра. В результате вы получите окружность, касающуюся обоих сторон угла, то есть вписанную в него. Помните, что вы всегда можете выбрать любую другую точку на биссектрисе и вновь построить вписанную в угол окружность, но уже другого радиуса.
2
Если же вам нужно вписать окружность в многоугольник, то для начала проверьте, можно ли это сделать. Вписать окружность в многоугольник вам удастся только в том случае, если биссектрисы всех углов этого многоугольника пересекаются в одной точке. Это условие выполняется для любого треугольника и для любого ромба, поэтому в эти фигуры всегда можно вписать окружность. Центром этой окружности будет точка пересечения биссектрис (у ромба биссектрисы одновременно являются диагоналями), а радиусом – длина перпендикуляра, опущенного из центра будущей окружности к одной из сторон фигуры. Начертите окружность с помощью циркуля указанным радиусом из найденного центра.
3
Вписать окружность в четырехугольник, не являющийся ромбом, вы сможете только при одном условии. Суммы длин противоположных сторон этого четырехугольника должны быть равными. Например, в четырехугольник АВСD со сторонами АВ = 3 см, ВС = 5 см, СD = 8 см и DA = 6 см можно вписать окружность, так как суммы длин противоположных сторон (3 + 8 = 11 см и 5 + 6 = 11 см) равны. Чтобы вписать окружность в эту фигуру, проведите биссектрисы как минимум двух ее углов - так вы найдете центр будущей окружности. Затем из этого центра опустите перпендикуляр к одной из сторон четырехугольника. Длина этого перпендикуляра будет радиусом вписанной окружности, выполните построение с помощью циркуля.
4
Если ваша задача состоит в том, чтобы вписать окружность в какой-либо иной многоугольник (например, в пятиугольник), то для начала вам придется провести биссектрисы всех его углов. Лишь в том случае, если все биссектрисы пересекутся в одной точке, в данную фигуру можно будет вписать окружность, проведя из точки пересечения биссектрис перпендикуляр к одной из сторон и построив окружность данного радиуса.
Видео по теме

Совет 3: Как вписать в выпуклый четырехугольник окружность

Если каждая сторона четырехугольника касается круга только в одной точке и ни одна из этих точек не лежит в вершине многоугольника, такую окружность можно назвать вписанной. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность, но если это возможно, для выполнения построения понадобится шагов.
Вам понадобится
  • Бумага, карандаш, линейка, циркуль, транспортир, угольник.
Инструкция
1
Начните с определения принципиальной возможности осуществить заданное построение. Вписать в четырехугольник окружность можно только в том случае, если совпадают суммы длин его противоположных сторон - измерьте эти отрезки, попарно сложите и проверьте, выполняется ли условие.
2
Для самого сложного случая - построения окружности, вписанной в четырехугольник неправильной формы - придется построить биссектрисы углов, лежащих в вершинах фигуры. Начните с любой вершины - приложите транспортир, измерьте величину угла, поделите полученный результат пополам и поставьте вспомогательную точку. Начертите вспомогательный отрезок, лежащий на биссектрисе угла этой вершины - он должен начинаться в вершине, проходить через вспомогательную точку и заканчиваться на противоположной стороне фигуры.
3
Повторите операцию предыдущего шага для второй вершины четырехугольника, а в месте пересечения двух вспомогательных отрезков поставьте точку. Обозначьте ее, например, буквой О - это центр вписанной окружности. Если из первого шага или из условий задачи однозначно вытекает, что в этот четырехугольник возможно вписать круг, строить биссектрисы углов в двух оставшихся вершинах нет необходимости. А если проверку из первого шага произвести почему-либо невозможно, вам следует убедиться, что все четыре биссектрисы пересекаются в одной точке. Если это условие не будет выполнено после повторения первого шага для остальных вершин, значит вписать окружность в такой четырехугольник невозможно.
4
Определите радиус вписанной окружности. Для этого с помощью угольника или транспортира постройте перпендикуляр, опущенный из центра окружности - точки О - к любой из сторон. Отложите длину получившегося отрезка на циркуле.
5
Начертите окружность с радиусом, отложенным на циркуле, и центром в точке О. На этом построение будет завершено.
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500