Совет 1: Как найти производную корня

В задачах по математическому анализу иногда требуется найти производную корня. В зависимости от условий задачи, производная от функции «корень квадратный» (кубический) находится непосредственно или путем преобразования «корня» в степенную функцию с дробным показателем.
Вам понадобится
  • - карандаш;
  • - бумага.
Инструкция
1
Перед тем как находить производную корня, обратите внимание на остальные функции, присутствующие в решаемом примере. Если в задаче имеется много подкоренных выражений, то воспользуйтесь следующим правилом нахождения производной квадратного корня:

(√х)' = 1 / 2√х.
2
А для нахождения производной кубического корня примените формулу:

(³√х)' = 1 / 3(³√х)²,

где через ³√х обозначен кубический корень из х.
3
Если в примере, предназначенном для дифференцирования, встречается переменная в дробных степенях, то переведите обозначение корня в степенную функцию с соответствующим показателем. Для квадратного корня это будет степень ½, а для кубического корня – ⅓:

√х = х ^ ½,
³√х = x ^ ⅓,

где символ ^ обозначает возведение в степень.
4
Для нахождения производной степенной функции вообще и х^½, x^⅓, в частности, воспользуйтесь следующим правилом:

(х ^ n)' = n * x^(n-1).

Для производной корня из этого соотношения вытекает:

(х^½)' = ½ x ^ (-½) и
(x^⅓)' = ⅓ x ^ (-⅔).
5
Продифференцировав все корни, внимательно посмотрите на остальные части примера. Если в ответе у вас получилось очень громоздкое выражение, то наверняка его можно упростить. Большинство школьных примеров составлено таким образом, чтобы в итоге получилось небольшое число или компактное выражение.
6
Во многих задачах на нахождение производной, корни (квадратные и кубические) встречаются вместе с другими функциями. Чтобы найти производную корня в этом случае, применяйте следующие правила:
• производная константы (постоянного числа, C) равняется нулю: C' = 0;
• постоянный множитель выносится за знак производной: (k*f)' = k * (f)' (f – произвольная функция) ;
• производная суммы нескольких функций равняется сумме производных: (f + g)' = (f)' + (g)';
• производная произведения двух функций равняется… нет, не произведению производных, а следующему выражению: (fg)' = (f)'g + f (g)';
• производная частного также равняется не частному производных, а находится согласно следующего правила: (f/g)' = ((f)'g – f(g)') / g².

Совет 2: Как находить производную от числа

Задача нахождения производной стоит как перед учениками старших классов школ, так и перед студентами. Для успешного дифференцирования требуется внимательно и аккуратно следовать определенным правилам и алгоритмам.
Вам понадобится
  • - таблица производных;
  • - правила дифференцирования.
Инструкция
1
Проанализируйте производную. Если она представляет собой произведение или сумму, разложите по известным правилам. В случае, если одно из слагаемых — число, воспользуйтесь формулами из пунктов 2-5 и 7.
2
Помните, что производная числа (константы) равна нулю. Производная по определению есть скорость изменения функции, а скорость изменения постоянной величины — нуль. При необходимости это доказывается с помощью определения производной, через пределы — приращение функции равно нулю, а нуль делить на приращение аргумента есть нуль. Следовательно, предел нуля тоже есть нуль.
3
Не забывайте, что, имея произведение постоянного множителя и переменной, можно вынести константу за знак производной и дифференцировать только оставшуюся функцию: (cU)'=cU', где «c» – константа; «U» — любая функция.
4
Имея один из частных случаев производной дроби, когда в числителе вместо функции стоит число, воспользуйтесь формулой: производная равна минус произведению константы на производную знаменателя, деленное на стоящую в знаменателе функцию в квадрате: (c/U)'=(-c·U')/U2.
5
Возьмите производную по второму следствию производной дроби: если константа стоит в знаменателе, а в числителе функция, то единица, деленная на константу, всё равно число, потому следует выносить число из-под знака производной и изменять только функцию: (U/c)'=(1/c)·U'.
6
Отличайте коэффициент перед аргументом («х») и перед функцией (f(x)). Если число стоит перед аргументом, то функция — сложная, и ее необходимо дифференцировать по правилам сложных функций.
7
Если имеете показательную функцию ах, в этом случае число возводится в степень переменной, и значит, нужно брать производную по формуле: (ах)'=lna·ах. Будьте осторожны и помните, что основанием показательной функции может быть любое положительное число отличное от единицы. Если основание показательной функции — число е, то формула примет вид: (ех)'=ех.
Видео по теме
Источники:
  • Таблица производных
  • производная числа
Обратите внимание
На этой странице вы сможете вычислять производную функции онлайн с получением подробного решения задачи. Решение производных функции производится с использованием тех правил дифференцирования, которые студенты изучают в курсе математического анализа в институте. Для того, чтобы найти производную функции нужно в поле "Функция" ввести функцию для дифференцирования согласно правил ввода данных.
Полезный совет
Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю: Математический смысл этого определения понять не очень просто, поскольку в школьном курсе алгебры понятие предела функции либо не изучают совсем, либо изучают очень поверхностно. Но для того, чтобы научиться находить производные различных функций, это и не обязательно.
Источники:
  • производная корень из икс
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500