Совет 1: Как построить симметрию

Симметрией в геометрии называют способность фигур к отображению. В переводе с древнегреческого это слово обозначает «соразмерность». Существует несколько видов симметрии — зеркальная, лучевая, центральная, осевая. На практике симметричные построения применяются в архитектуре, дизайне и многих других отраслях.
Вам понадобится
  • - свойства симметричных точек;
  • - свойства симметричных фигур;
  • - линейка;
  • - угольник;
  • - циркуль;
  • - карандаш;
  • - лист бумаги;
  • - компьютер с графическим редактором.
Инструкция
1
Проведите прямую a, которая будет являться осью симметрии. Если ее координаты не заданы, начертите ее произвольно. С одной стороны от этой прямой поставьте произвольную точку A. необходимо найти симметричную точку.
2
Вспомните, какие точки являются симметричными относительно оси. Прямая a в этом случае должна являться серединным перпендикуляром к отрезку между этими точками. То есть для того, чтобы определить местоположение точки В, необходимо провести от точки А перпендикуляр к оси симметрии и продолжить его. Точку пересечения оси и перпендикуляра к ней обозначьте как О.
3
От точки О отложите расстояние, равное отрезку ОА. Поставьте точку В. Она будет симметрична точке А. Если задана находящаяся на плоскости прямая А, то каждая точка, находящаяся по одну ее сторону, симметрична всего одной точке, находящейся по другую сторону от этой прямой. Представьте себе вращение плоскости вокруг данного отрезка. Если она повернется на 180°, то точки А и В поменяются местами.
4
Точно таким же образом можно построить и две симметричные геометрические фигуры. Например, задан треугольник ABC, к которому необходимо построить симметричный. Проведите ось симметрии. Она может быть задана условиями задачи. Их каждой вершины заданного треугольника проведите к этой прямой перпендикуляры и продлите их на другую сторону плоскости. Обозначьте точки пересечения как О, О1 и О2. От каждой из этих точек отложите отрезки, равный ОА, О1В и О2С. Соедините полученные точки прямыми. Точно так же можно начертить и другие пары симметричных фигур.

Совет 2: Как построить сечение конуса

Построение сечения конуса не такая уж сложная задача. Главное - соблюдать строгую последовательность действий. Тогда данная задача будет легко выполнима и не потребует от Вас больших трудозатрат.
Вам понадобится
  • - бумага;
  • - ручка;
  • - циркль;
  • - линейка.
Инструкция
1
При ответе на этот вопрос, сначала следует определиться – какими параметрами задано сечение.
Пусть это будет прямая пересечения плоскости основания конуса l с плоскостью сечения и точка О, которая является местом пересечения высоты конуса с его сечением.

Построение иллюстрирует рис.1. Первый шаг построения сечения – это проведение через центр сечения его диаметра, продленного до l перпендикулярно этой линии. В итоге получается точка L. Далее через т.О проведите прямую LW, и постройте две направляющие конуса, лежащие в главном сечении О2М и О2С . В пересечении этих направляющих лежат точка Q, а также уже показанная точка W. Это первые две точки искомого сечения.
Как построить сечение конуса
2
Теперь проведите в основании конуса диаметр ВВ1 перпендикулярный МС и постройте образующие перпендикулярного сечения О2В и О2В1. В этом сечении через т.О проведите прямую RG, параллельную ВВ1. Т.R и т.G - еще две точки искомого сечения. Если бы контур сечения бал известен, то его можно было бы построить уже на этой стадии. Однако это вовсе не эллипс, а нечто эллипсообразное, имеющее симметрию относительно отрезка QW. Поэтому следует строить как можно больше точек сечения, чтобы соединяя их в дальнейшем плавной кривой получить наиболее достоверный эскиз.
3
Постройте произвольную точку сечения. Для этого проведите в основании конуса произвольный диаметр AN и постройте соответствующие направляющие О2A и O2N. Через т.О проведите прямую, проходящую через PQ и WG, до ее пересечения с только что построенными направляющими в точках P и E. Это еще две точки искомого сечения. Продолжая точно так же и дальше, можно набрать сколь угодно много искомых точек.
4
Правда, процедуру их получения можно немного упростить пользуясь симметрией относительно QW. Для этого можно в плоскости искомого сечения провести прямые SS’, параллельные RG до пересечения их с поверхность конуса. Построение завершается скруглением построенной ломаной из хорд. Достаточно построить половину искомого сечения в силу уже упомянутой симметрии относительно QW.
Видео по теме

Совет 3: Как построить график тригонометрической функции

Вам требуется начертить график тригонометрической функции? Освойте алгоритм действий на примере построения синусоиды. Для решения поставленной задачи используйте метод исследования.
Вам понадобится
  • - линейка;
  • - карандаш;
  • - знание основ тригонометрии.
Инструкция
1
Постройте график функции y=sin x. Область определения данной функции - множество всех действительных чисел, область значений – интервал [-1; 1]. Значит, синус – функция ограниченная. Следовательно, на оси OY вам потребуется отметить лишь точки со значением y=-1; 0; 1. Начертите систему координат и нанесите необходимые обозначения.
2
Функция y=sin x периодическая. Ее период равен 2π, он находится из равенства sin x= sin (x+2π)=sin x для всех рациональных x. Сначала постройте часть графика заданной функции на промежутке [0; π]. Для этого необходимо найти несколько контрольных точек. Вычислите точки пересечения графика с осью OX. Если y=0, sin x=0, откуда x=πk, где k=0; 1. Таким образом, на данном полупериоде синусоида пересекает ось OX в двух точках (0; 0) и (π; 0).
3
На промежутке [0; π] функция синус принимает только положительные значения, т.е. кривая лежит выше оси OX. Функция возрастает от 0 до 1 на отрезке [0; π/2] и убывает от 1 до 0 на отрезке [π/2; π]. Следовательно, на промежутке [0; π] функция y=sin x имеет точку максимума: (π/2; 1).
4
Найдите еще несколько контрольных точек. Так, для данной функции при x=π/6, y=1/2, при x=5π/6, y=1/2. Таким образом, вы имеете следующие точки: (0; 0), (π/6; ½), (π/2; 1), (5π/6; ½), (π; 0). Нанесите их на координатную плоскость и соедините плавной кривой линией. Вы получили график функции y=sin x на промежутке [0; π].
5
Теперь постройте график данной функции для отрицательного полупериода [-π; 0]. Для этого выполните симметрию полученного графика относительно начала координат. Сделать это позволяет нечетность функции y=sin x. Вы получили график функции y=sin x на промежутке [-π; π].
6
Используя периодичность функции y=sin x, вы можете продолжить синусоиду вправо и влево по оси OX без нахождения контрольных точек. Вы получили график функции y=sin x на всей числовой прямой.
Источники:
  • Свойства тригонометрических функций

Совет 4: Как построить однополосный гиперболоид

Однополосный гиперболоид представляет собой фигуру вращения. Чтобы построить его, нужно следовать определенной методики. Сначала вычерчиваются полуоси, затем, гиперболы и эллипсы. Соединение всех этих элементов поможет составить уже саму пространственную фигуру.
Вам понадобится
  • - карандаш,
  • - бумага,
  • - математический справочник.
Инструкция
1
Изобразите гиперболу в плоскости Xoz. Для этого начертите две полуоси, совпадающие с осью y (действительная полуось) и с осью z (мнимая полуось). Постройте на базе них гиперболу. После этого задайте определенную высоту h гиперболоида. В завершении на уровне этой заданной высоты проведите прямые, которые будут параллельны Ox и пересекают при этом график гиперболы в двух точках: нижней и верхней.
2
Повторите вышеописанные действия в другой плоскости – Oyz. Здесь постройте гиперболу, в которой действительная полуось проходит через ось y, а мнимая - совпадает с c.
3
Постройте параллелограмм в плоскости Oxy. Для этого соедините точки графиков гипербол. Затем вычертите горловой эллипс с учетом того, чтобы он вписался в построенный ранее параллелограмм.
4
Повторите вышеописанные действия при построении остальных эллипсов. В конечном итоге сформируется чертеж однополостного гиперболоида.
5
Однополостный гиперболоид описывается изображенным уравнением, где a и b – действительные, c – мнимая полуоси. Т.е. его координатные плоскости являются одновременно еще и плоскостями симметрии, а начало координат представляет собой центр симметрии данной пространственной фигуры.
Видео по теме
Обратите внимание
Если две полуоси однополосного гиперболоида равны, то фигуру можно получить путем вращения гиперболы с полуосями, одна из которых вышеуказанная, а другая, отличающаяся от двух равных, вокруг мнимой оси.
Совет полезен?
При рассмотрении этой фигуры относительно осей Oxz и Oyz видно, что ее главными сечениями являются гиперболы. А при разрезе данной пространственной фигуры вращения плоскостью Oxy ее сечение представляет собой эллипс. Горловой эллипс однополосного гиперболоида проходит через начало координат, ведь z=0.

Горловой эллипс описывается уравнением x²/a² +y²/b²=1, а другие эллипсы составляются по уравнению x²/a² +y²/b²=1+h²/c².
Источники:
  • Эллипсоиды, параболоиды, гиперболоиды. Прямолинейные образующие

Совет 5: Как построить пятиконечную звезду

Форма пятиконечной звезды повсеместно используется человеком с древних времен. Мы считаем ее форму прекрасной, так как бессознательно различаем в ней соотношения золотого сечения, т.е. красота пятиконечной звезды обоснована математически. Первым описал построение пятиконечной звезды Евклид в своих "Началах". Давайте же приобщимся к его опыту.
Вам понадобится
  • линейка;
  • карандаш;
  • циркуль;
  • транспортир.
Инструкция
1
Построение пятиконечной звезды сводится к построению правильного пятиугольника с последующим соединением его вершин друг с другом последовательно через одну. Для того чтобы построить правильный пятиугольник необходимо разбить окружность на пять равных частей.
Постройте произвольную окружность при помощи циркуля. Обозначьте ее центр точкой O.

Отметьте на окружности точку A и при помощи линейки начертите отрезок ОА. Теперь необходимо разделить отрезок OA пополам, для этого из точки А проведите дугу радиусом ОА до пересечения ее с окружностью в двух точках M и N. Постройте отрезок MN. Точка Е, в которой MN пересекает OA, будет делить отрезок OA пополам.

Восстановите перпендикуляр OD к радиусу ОА и соедините точку D и E. Сделайте засечку B на диаметре OA из точки E радиусом ED.
2
Теперь при помощи отрезка DB разметьте окружность на пять равных частей. Обозначьте вершины правильного пятиугольника последовательно цифрами от 1 до 5. Соедините точки в следующей последовательности: 1 с 3, 2 с 4, 3 с 5, 4 с 1, 5 с 2. Вот и готова правильная пятиконечная звезда, вписанная в правильный пятиугольник. Именно таким способом строил пятиконечную звезду Евклид около 2300 лет тому назад.
3
Во времена Евклида не было транспортиров, поэтому приходилось прибегать к этому, достаточно сложному способу построения. Если у вас есть транспортир, вы можете справиться с построением пятиконечной звезды быстрее. Начертите окружность и проведите оси симметрии через ее центр. Поставьте транспортир параллельно одной из осей симметрии и отмерьте 72 градуса от точки A пересечения другой оси симметрии с окружностью. Обозначьте получившуюся точку буквой B. Поставьте острие циркуля в точку А, а грифель в точку B. Полученной длинной разделите окружность на пять равных частей. Соедините получившие точки так же, как в первом способе.
Видео по теме
Источники:
  • Б. И. Аргунов, М. Б. Балк Геометрические построения на плоскости. Пособие для студентов педагогических институтов. — Издание второе. — М.: Учпедгиз, 1957.

Совет 6: Как построить корень на графике

Каждая функция, в том числе и квадратичная, может быть построена на графике. Для построения этого графического изображения рассчитываются корни данного квадратного уравнения.
Вам понадобится
  • - линейка;
  • - простой карандаш;
  • - тетрадь;
  • - ручка;
  • - шаблон.
Инструкция
1
Найдите корни квадратного уравнения. Квадратное уравнение с одним неизвестным выглядит следующим образом: ax2+bx+c=0. Здесь х представляет собой искомое неизвестное; a, b и c являются известными коэффициентами, при этом a не должен быть равен 0. Если разделить обе части заданного квадратного уравнения на коэффициент a, то получите приведенное квадратное уравнение вида x2+px+q=0, в котором p=b/a и q=c/a. При условии, что один из коэффициентов b или c, либо оба равны нулю, полученное вами квадратное уравнение называется неполным.
2
Найдите дискриминант, который рассчитывается по формуле: b2-4ac. В том случае, если значение D больше 0, квадратное уравнение будет иметь два действительных корня; если D=0, найденные действительные корни будут равны между собой; если же D
3
Графическим изображением квадратичной функции будет парабола. Определите дополнительные данные для построения графика этой квадратичной функции: направление «ветвей» параболы, ее вершину, а также уравнение оси симметрии. Если а>0, то «ветви» параболы устремлены будут вверх (в противном случае, «ветви» будут направлены вниз).
4
Для определения координат вершины параболы найдите х по формуле: -b/2а, после чего подставьте значение «икса» в квадратное уравнение для получения значения у.
5
И наконец, уравнение оси симметрии зависит от значения коэффициента c в исходном квадратном уравнении. К примеру, если заданное квадратное уравнение у=х2-6х+3, то ось симметрии будет проходить по линии, в которой х=3.
6
Зная направление «ветвей» параболы, координаты ее вершины, а также ось симметрии, постройте с помощью шаблона график заданного квадратного уравнения. Обозначьте на изображенном графике корни уравнения: они будут нулями функции.
Видео по теме
Совет полезен?
Для построения параболы-шаблона рассматривается канонический случай у=х2.
Источники:
  • Графики и основные свойства элементарных функций
  • как построить график функции с корнем
Полезный совет
Свойства симметрии постоянно используются в программе AutoCAD. Для этого используется опция Mirror. Для построения равнобедренного треугольника или равнобедренной трапеции достаточно начертить нижнее основание и угол между ним и боковой стороной. Отразите их с помощью указанной команды и продлите боковые стороны до необходимой величины. В случае с треугольником это будет точка их пересечения, а для трапеции — заданная величина.

С симметрией вы постоянно сталкиваетесь в графических редакторах, когда пользуетесь опцией «отразить по вертикали/горизонтали». В этом случае за ось симметрии берется прямая, соответствующая одной из вертикальных или горизонтальных сторон рамки рисунка.
Источники:
  • как начертить центральную симметрию
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500