Совет 1: Как делать сечение

При пересечении секущей плоскостью геометрических плоскостей – цилиндрической, конической, поверхностей вращения и т.д. – образуются различного вида сечения. В частности, конические.
Вам понадобится
  • Карандаш, линейка, циркуль, лекала, треугольник
Инструкция
1
Линии пересечения конуса с секущей плоскостью называются коническими сечениями. Вид их зависит от положения секущей плоскости относительно плоскостей проекций.
2
В частном случае, если секущая плоскость Σ(Σ₂) параллельна горизонтальной плоскости проекций П₁ – в сечении будет окружность диаметром 1₂2₂, 1₁,2₁ (рис. 1).
3
Если секущая плоскость Σ(Σ₁) прошла через вершину конуса S(S₂ S₁) – в сечении будут две пересекающиеся прямые (рис. 2).
4
Если секущая плоскость пересекает все образующие конуса под углом к его оси, то в сечении будет эллипс (рис. 3).
5
Если секущая плоскость параллельна одной образующей конуса, то в сечении будет парабола (рис. 4).
6
Если секущая плоскость параллельна двум образующим конуса, то в сечении будет гипербола (рис. 5).
7
Пример. Постройте сечение кругового конуса фронтально-проектирующей плоскостью (рис. 6)
8
Для решения этой задачи примените способ вспомогательных секущих плоскостей.
Заданная плоскость Σ(Σ₂)параллельна одной образующей конуса, значит, в сечении будет парабола. Фронтальная проекция искомого сечения совпадает с проекцией плоскости Σ₂ и выражается прямой.
9
В первую очередь определите так называемые характерные (опорные) точки линии сечения: на очерке проекции конуса – точка 3₂ – вершина параболы, на проекции его основания – точка 1₂≡5₂.
10
Без дополнительных построений, при помощи линии связи постройте горизонтальные проекции этих точек: 3₁,1₁,5₁.
11
Отметьте точки 2₂≡4₂ и через них проведите вспомогательную плоскость Г(Г₂), параллельную горизонтальной плоскости проекций П₁. Она пересекает конус по окружности диаметром, равным А₂В₂.
12
Постройте это сечение-окружность на плоскости П₁, и на ее очерке линией связи определите точки 2₁,4₁.
13
Отметьте промежуточные точки 6₂,7₂, через них проведите другую вспомогательную плоскость, определите новое сечение (это окружность диаметром C₂D₂), и найдите горизонтальные проекции точек 6₁,7₁.
14
Для точности и плавности определяемой кривой проведите дополнительные вспомогательные плоскости и определите проекции новых промежуточных точек. Соединив их, постройте горизонтальную проекцию искомого сечения конуса проектирующей плоскостью, в данном случае – параболу.

Совет 2: Как найти золотое сечение

Золотое сечение — пропорция, которую издревле считали наиболее совершенной и гармоничной. Она заложена в основу конструкций множества древних сооружений, от статуй до храмов, и очень часто встречается в природе. Вместе с тем эта пропорция выражается удивительно изящными математическими конструкциями.
Инструкция
1
Золотая пропорция определяется следующим образом: это такое разбиение отрезка на две части, что меньшая часть относится к большей так же, как большая часть — ко всему отрезку.
2
Если длину всего отрезка принять за 1, а длину большей части — за x, то искомая пропорция выразится уравнением:

(1 - x)/x = x/1.

Умножая обе части пропорции на x и перенося слагаемые, получаем квадратное уравнение:

x^2 + x - 1 = 0.
3
Уравнение имеет два действительных корня, из которых нас, естественно, интересует только положительный. Он равен (√5 - 1)/2, что примерно равняется 0,618. Это число и выражает золотое сечение. В математике его чаще всего обозначают буквой φ.
4
Число φ обладает рядом замечательных математических свойств. Например, даже из исходного уравнения видно, что 1/φ = φ + 1. Действительно, 1/(0,618) = 1,618.
5
Другой способ вычислить золотую пропорцию состоит в использовании бесконечной дроби. Начиная с любого произвольного x, можно последовательно построить дробь:

x
1/(x + 1)
1/(1/(x+1) + 1)
1/(1/(1/(x+1) + 1) +1)

и так далее.
6
Для облегчения вычислений эту дробь можно представить в виде итеративной процедуры, в которой для вычисления следующего шага нужно прибавить единицу к результату предыдущего шага и разделить единицу на получившееся число. Иными словами:

x0 = x
x(n + 1) = 1/(xn + 1).

Этот процесс сходится, и его предел равен φ + 1.
7
Если заменить вычисление обратной величины извлечением квадратного корня, то есть провести итеративный цикл:

x0 = x
x(n + 1) = √(xn + 1),

то результат останется неизменным: независимо от изначально выбранного x итерации сходятся к значению φ + 1.
8
Геометрически золотое сечение можно построить при помощи правильного пятиугольника. Если провести в нем две пересекающиеся диагонали, то каждая из них разделит другую строго в золотом соотношении. Это наблюдение, согласно преданию, принадлежит Пифагору, который был так потрясен найденной закономерностью, что счел правильную пятиконечную звезду (пентаграмму) священным божественным символом.
9
Причины, по которым именно золотое сечение кажется человеку наиболее гармоничным, неизвестны. Однако эксперименты неоднократно подтверждали, что испытуемые, которым было поручено наиболее красиво разделить отрезок на две неравные части, делают это в пропорциях, весьма близких к золотому соотношению.
Видео по теме
Полезный совет
Таким образом, используя способ вспомогательных секущих плоскостей, и, исходя из принципа принадлежности сечения заданной поверхности и секущей плоскости, строится сечение любой поверхности.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500