Совет 1: Как найти площади треугольника и прямоугольника

Треугольник и прямоугольник - две простейшие плоские геометрические фигуры в Евклидовой геометрии. Внутри периметров, образованных сторонами этих многоугольников, заключен некоторый участок плоскости, площадь которого можно определить многими способами. Выбор способа в каждом конкретном случае будет зависеть от известных параметров фигур.
Инструкция
1
Применяйте для нахождения площади треугольника одну из формул, использующих тригонометрические функции, если известны величины одного или нескольких углов в треугольнике. Например, при известной величине угла (α) и длинам сторон, его составляющих (В и С), площадь (S) можно определить по формуле S=В*С*sin(α)/2. А при известных величинах всех углов (α, β и γ) и длине одной стороны в придачу (А) можно использовать формулу S=А²*sin(β)*sin(γ)/(2*sin(α)). Если кроме всех углов известен радиус (R) описанной окружности, то воспользуйтесь формулой S=2*R²*sin(α)*sin(β)*sin(γ).
2
Если величины углов не известны, то для нахождения площади треугольника можно использовать формулы без тригонометрических функций. Например, если известна высота (Н), проведенная из стороны, длина которой тоже известна (А), то воспользуйтесь формулой S=А*H/2. А если даны длины каждой из сторон (А, В и С), то сначала найдите полупериметр p=(А+В+С)/2, а затем вычислите площадь треугольника по формуле S=√(p*(p-А)*(p-В)*(p-С)). Если кроме длин сторон (А, В и С) известен радиус (R) описанной окружности, то применяйте формулу S=А*В*С/(4*R).
3
Для нахождения площади прямоугольника тоже можно задействовать тригонометрические функции - например, если известна длина его диагонали (С) и величина угла, который она составляет с одной из сторон (α). В этом случае воспользуйтесь формулой S=С²*sin(α)*cos(α). А если известны длины диагоналей (С) и величина угла, который они составляют (α), то применяйте формулу S=С²*sin(α)/2.
4
Без тригонометрических функций при нахождении площади прямоугольника можно обойтись, если известны длины его перпендикулярных сторон (А и В) - можно применить формулу S=А*В. А если дана длина периметра (P) и одной стороны (А), то воспользуйтесь формулой S=А*(P-2*А)/2.

Совет 2: Как найти площадь треугольника

Треугольник – простейший математический многоугольник, состоящий из трех вершин и сторон. Основная количественная характеристика треугольника, площадь, вычисляется несколькими способами на основе различных измерений: длин сторон и высоты, углов между сторонами, периметра, радиусов вписанной и описанной окружности и пр.
Инструкция
1
Основная формула площади произвольного треугольника ABC вычисляется следующим образом: S = ?*c*h, где c – основание треугольника, h – высота, проведенная к этому основанию.
2
Формула расчета площади через произведение сторон и sin угла между ними:S = ?*a*b*sin?.
3
Пусть в треугольник вписана окружность радиуса r, тогда формула площади треугольника будет иметь вид:S = ?*P*r, где P – периметр треугольника, т.е. S = ?*(a + b + c)*r.
4
Пусть вокруг треугольника описана окружность радиуса R. Формула площади треугольника через радиус описанной окружности и длины сторон треугольника:S = (a*b*c)/(4*R).Формула площади треугольника через радиус описанной окружности и углы треугольника:S = 2*R^2*sin?*sin?*sin?.
5
Существует формула Герона для площади треугольника, названная по имени древнегреческого математика Герона Александрийского, жившего в самом начале нашей эры. Эта формула дает определение площади через длины всех сторон треугольника:S = ?*v((a + b + c)*(b + c - a)*(a + c - b)*(a + b - c)).Запись формулы с введением понятия полупериметра упрощается:S = v(p*(p - a)*(p - b)*(p - c)), где p = (a + b + c)/2 - полупериметр.
6
Формула площади треугольника через длину стороны и углы треугольника:S = a^2*sin?*sin?/(2*sin?), где ? и ? – прилежащие углы, а ? – противолежащий угол к стороне a.
7
Для прямоугольного треугольника формула площади упрощается и выглядит следующим образом:S = ?*a*b, т.е. площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин катетов.
8
Формула площади для равностороннего треугольника:S = (a^2*v3)/4.
9
Формула площади для равнобедренного прямоугольного треугольника:S = ?*(a^2 + b^2), где a и b – катеты треугольника.Кроме того, для любого треугольника справедливо следующее неравенство:S < ?*(a^2 + b^2).
Видео по теме
Обратите внимание
Треугольники с целочисленными сторонами, площадь которых также равна целому числу, называются треугольниками Герона.
Источники:
  • формулы площади треугольника через радиус описанной окружности

Совет 3: Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам

В треугольнике, величина угла в одной из вершин которого равна 90°, длинная сторона называется гипотенузой, а остальные две - катетами. Такая фигура можно представить как половину прямоугольника, разделенного диагональю. Это значит, что и площадь его должна быть равна половине площади прямоугольника, стороны которого совпадают с катетами. Несколько более сложной задачей является вычисление площади по катетам треугольника, заданного координатами своих вершин.
Инструкция
1
Если длины катетов (a и b) прямоугольного треугольника даны в условиях задачи в явном виде, формула расчета площади (S) фигуры будет очень проста - перемножьте эти две величины, а полученный результат разделите пополам: S = ½*a*b. Например, если длины двух коротких сторон такого треугольника составляют 30 см и 50 см, его площадь должна быть равна ½*30*50 = 750 см².
2
Если же треугольник помещен в двухмерную ортогональную координатную систему и задан координатами своих вершин A(X₁,Y₁), B(X₂,Y₂) и C(X₃,Y₃), начните с вычисления длин самих катетов. Для этого рассмотрите треугольники, составленные из каждой стороны и двух ее проекции на координатные оси. То, что эти оси перпендикулярны, позволяет найти длину стороны по теореме Пифагора, так как она является гипотенузой в таком вспомогательном треугольнике. Длины же проекций стороны (катетов вспомогательного треугольника) найдите вычитанием соответствующих координат точек, образующих сторону. Длины стороны должны быть равны |AB| = √((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²), |BС| = √((X₂-X₃)²+(Y₂-Y₃)²), |CA| = √((X₃-X₁)²+(Y₃-Y₁)²).
3
Определите, которая пара сторон является катетами - это можно сделать по их длинам, полученным на предыдущем шаге. Катеты обязаны быть короче гипотенузы. Затем воспользуйтесь формулой из первого шага - найдите половину произведения рассчитанных величин. При условии, что катетами являются стороны AB и BC, в общем виде формулу можно записать так: S = ½ * (√((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²) * √((X₂-X₃)²+(Y₂-Y₃)²).
4
Если прямоугольный треугольник помещен в трехмерную систему координат, последовательность операций не изменится. Просто добавьте в формулы расчета длин сторон третьи координаты соответствующих точек: |AB| = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), |BС| = √((X₂-X₃)²+(Y₂-Y₃)²+(Z₂-Z₃)²), |CA| = √((X₃-X₁)²+(Y₃-Y₁)²+(Z₃-Z₁)²). Окончательная формула в этом случае должна выглядеть так: S = ½ * (√((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²+(Z₁-Z₂)²) * √((X₂-X₃)²+(Y₂-Y₃)²+(Z₂-Z₃)²).
Видео по теме

Совет 4: Как найти площадь прямоугольника, если известна ширина

Само по себе нахождение площади прямоугольника – это довольно простой тип задач. Но очень часто этот вид упражнений осложняется введением дополнительных неизвестных. Для их решения вам потребуются самые широкие познания в различных разделах геометрии.
Вам понадобится
  • - Тетрадь;
  • - линейка;
  • - карандаш;
  • - ручка;
  • - калькулятор.
Инструкция
1
Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого все углы прямые. Частным случаем прямоугольника является квадрат.
Площадь прямоугольника – это величина равная произведению его длины и ширины. А площадь квадрата равна его длине его стороны, возведенной во вторую степень.
Если известна только ширина, то вы должны сначала найти длину, а затем вычислить площадь.
2
Например, дан прямоугольник АВCD (Рис.1), где АВ = 5 см, ВО = 6,5 см. Найдите площадь прямоугольника АВCD.
3
Т.к. АВCD – прямоугольник, АО = ОС, ВО = ОD (как диагонали прямоугольника). Рассмотрите треугольник АВС. АВ = 5 (по условию), АС = 2АО = 13 см, угол АВС = 90 (т.к. АВCD – прямоугольник). Следовательно АВС – прямоугольный треугольник., в котором АВ и ВС – катеты, а АС – гипотенуза (т.к. она находится напротив прямого угла).
4
Теорема Пифагора гласит: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. По теореме Пифагора находите катет ВС.
ВС ^2 = АС ^2 – АВ ^2
ВС ^2 = 13 ^2 – 5 ^2
ВС ^2 = 169 – 25
ВС ^2 = 144
ВС = √144
ВС = 12
5
Теперь вы можете найти площадь прямоугольника АВCD.
S = АВ * ВС
S = 12 * 5
S = 60.
6
Возможен так же вариант, где ширина будет известна частично. Например, дан прямоугольник АВCD, где АВ=1/4АD, ОМ – медиана треугольника АОD, ОМ=3, АО=5. Найдите площадь прямоугольника АВCD.
7
Рассмотрите треугольник АОD. Угол ОАD равен углу ОDА (т.к. АС и ВD – диагонали прямоугольника). Следовательно, треугольник АОD – равнобедренный. А в равнобедренном треугольнике медиана ОМ является одновременно биссектрисой и высотой. Значит, треугольник АОМ – прямоугольный.
8
В треугольнике АОМ, где ОМ и АМ – катеты, найдите, чему равна ОМ (гипотенуза). По теореме Пифагора АМ^2 = АО^2 - ОМ^2
АМ = 25-9
АМ = 16
АМ = 4
9
Теперь вычислите площадь прямоугольника АВCD. АМ = 1/2АD (т.к. ОМ, будучи медианой, делит АD пополам). Следовательно АD = 8.
АВ=1/4АD (по условию). Отсюда АВ = 2.
S = АВ*АD
S = 2*8
S = 16
Видео по теме
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500