Совет 1: Как найти логарифм

Логарифмом числа x по основанию a называется такое число y, что a^y = x. Поскольку логарифмы облегчают очень многие практические вычисления, важно уметь ими пользоваться.
Инструкция
1
Логарифм числа x по основанию a будем обозначать loga(x). Например, log2(8) — логарифм числа 8 по основанию 2. Он равен 3, потому что 2^3 = 8.
2
Логарифм определен только для положительных чисел. Отрицательные числа и ноль не имеют логарифмов вне зависимости от основания. При этом сам логарифм может быть любым числом.
3
Основанием логарифма может служить любое положительное число, кроме единицы. Однако на практике чаще всего используются два основания. Логарифмы по основанию 10 называются десятичными и обозначаются lg(x). Десятичные логарифмы чаще всего встречаются в практических вычислениях.
4
Второе популярное основание для логарифмов — иррациональное трансцендентное число e = 2,71828… Логарифм по основанию e называется натуральным и обозначается ln(x). Функции e^x и ln(x) обладают особыми свойствами, важными для дифференциального и интегрального исчисления, поэтому натуральные логарифмы чаще используются в математическом анализе.
5
Логарифм произведения двух чисел равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию: loga(x*y) = loga(x) + loga(y). Например, log2(256) = log2(32) + log2(8) = 8.Логарифм частного двух чисел равен разности их логарифмов: loga(x/y) = loga(x) - loga(y).
6
Чтобы найти логарифм числа, возведенного в степень, нужно логарифм самого числа умножить на показатель степени: loga(x^n) = n*loga(x). При этом показатель степени может быть любым числом — положительным, отрицательным, нулем, целым или дробным.Поскольку x^0 = 1 для любого x, то loga(1) = 0 для любого a.
7
Логарифм заменяет умножение сложением, возведение в степень умножением, а извлечение корня делением. Поэтому в отсутствие вычислительной техники логарифмические таблицы заметно упрощают расчеты.Чтобы найти логарифм числа, не входящего в таблицу, его нужно представить в виде произведения двух или более чисел, логарифмы которых есть в таблице, и найти окончательный результат, сложив эти логарифмы.
8
Достаточно простой способ вычислить натуральный логарифм — воспользоваться разложением этой функции в степенной ряд:ln(1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*((x^n)/n).Этот ряд дает значения ln(1 + x) для -1 < x ≤1. Иными словами, так можно вычислить натуральные логарифмы чисел от 0 (но не включая 0) до 2. Натуральные логарифмы чисел за пределами этого ряда можно найти путем суммирования найденных, пользуясь тем, что логарифм произведения равен сумме логарифмов. В частности ln(2x) = ln(x) + ln (2).
9
Для практических вычислений иногда бывает удобно перейти от натуральных логарифмов к десятичным. Любой переход от одного основания логарифмов к другому совершается по формуле:logb(x) = loga(x)/loga(b).Таким образом, log10(x) = ln(x)/ln(10).

Совет 2: Как найти логарифм числа

На практике чаще всего применяются десятичные логарифмы, которые принято называть стандартными. Для их нахождения составлены специальные таблицы, используя которые можно найти значение логарифма любого положительного числа с той или иной точностью, предварительно приведя его к стандартному виду. Для решения большинства задач вполне достаточны четырехзначные таблицы Брадиса с точностью до 0,0001, которые содержатся мантиссы десятичных логарифмов. Характеристику можно легко найти по одному виду числа. Обращение с таблицами весьма простое.
Вам понадобится
  • - формула перехода от одного основания логарифма к другому;
  • - четырехзначные математические таблицы Брадиса.
Инструкция
1
Приведите логарифм к стандартному виду, если его основание не равно 10. Используйте формулу перехода от одного основания к другому.
2
Найдите характеристику логарифма. Если число больше или равно единице, то сосчитайте количество цифр в целой части данного числа. Отнимите из этого количества единицу и получите значение характеристики. Например, у логарифма числа 56,3 характеристика равна 1. Если число является десятичной дробью, меньшей 1, то сосчитайте в ней количество нулей до первой цифры, отличной от нуля. Сделайте отрицательным подученное значение характеристики. Например, у логарифма числа 0,0002 характеристика равна -4.
3
Определите число для нахождения мантиссы как целое. Проигнорируйте в данном числе запятую, если она есть и отбросьте все нули, стоящие в конце числа. Положение запятой в десятичном числе и последние нули никаким образом не влияют на величину мантиссы. Запишите образовавшееся целое число. Например, у логарифма числа 56,3 оно равно 563. В зависимости от того, сколько цифр содержится в этом числе, зависит алгоритм работы с четырехзначными таблицами. Существует три типа алгоритмов.
4
Найдите мантиссу логарифма, выполнив следующие действия, если число для ее нахождения является трехзначным. Найдите в четырехзначных математических таблицах Брадиса таблицу XIII «Мантиссы десятичных логарифмов». Перейдите на строчку, содержащую в первом столбце «N» эти две первые цифры числа, по которому ищется мантисса. Например, если имеем число 563, то ищите строчку, где в первом столбе стоит 56. Затем продвигайтесь по этой строчке вправо до ее пересечения со столбцом, номер которого совпадает с третьей цифрой исходного числа. В нашем примере это столбец с номером 3. На пересечении найденной строки и столбца находится значение мантиссы. Мантисса, найденная по числу 563 равна 0,7505.
5
Найдите мантиссу логарифма, выполнив следующие действия, если число для ее нахождения состоит из двух или одной цифры. Припишите мысленно к этому числу такое количество нулей, чтобы оно стало трехзначным. Если число равно 56, то получается 560. Найдите мантиссу по полученному трехзначному числу. Для этого выполните действия из шага 4. Мантисса по числу 560 равна 0,7482.
6
Найдите мантиссу логарифма, выполнив следующие действия, если число для ее нахождения является четырехзначным. Найдите мантиссу для числа, изображенного первыми тремя цифрами данного числа. Для этого выполните действия из шага 4. Затем передвигайтесь по горизонтальной строке от найденной мантиссы в правую часть таблицы, расположенную за вертикальной жирной чертой и содержащей поправки на четвертую цифру. Найдите в области поправок столбец с номером, совпадающим с четвертой цифрой числа. Прибавьте поправку, находящуюся на пересечении строки и столбца, к мантиссе, найденной по трехзначному числу. Например, если число для нахождения мантиссы равно 5634, то мантисса по 563 равна 0,7505. Поправка по цифре 4 равна 3. Окончательный результат равен 0,7508.
7
Найдите мантиссу логарифма, выполнив следующие действия, если число для ее содержит более четырех цифр. Округлите число до четырех знаков так, чтобы все цифры, начиная с пятой, были нулями. Отбросьте последние нули и найдите мантиссу по четырехзначному числу. Для этого выполните действия из шага 7.
8
Найдите логарифм числа как сумму характеристики и мантиссы. В рассматриваемом примере логарифм числа 56,3 равен 1,7505.
Видео по теме
Источники:
  • Таблицы десятичных логарифмов
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500