Совет добавлен

Как посчитать предел

Пределом функции f(x) при x, стремящемся к некоторому числу a, называется такое число b, когда для каждого положительного числа ε можно указать положительное число δ, удовлетворяющее условию: если |x - a| < ε, то |f(x) - b| < δ. Задача вычисления предела часто встречается в математическом анализе.
Как посчитать предел
Инструкция
1
Предел функции f(x) в точке a будем обозначать lim (f(x)), x → a.
2
Для любой функции, непрерывной в точке a, lim (f(x)), x → a = f(a).
3
Предел суммы функций при x → a равен сумме пределов этих функций при x → a, то есть lim (f(x) + g(x)), x → a = lim (f(x)), x → a + lim (g(x)), x → a.Например, lim (3x^2 + 8x), x → 2 равен lim (3x^2), x → 2 + lim (8x), x → 2 = 12 + 16 = 28.
4
Предел произведения функций при x → a равен произведению пределов этих функций при x → a, то есть lim (f(x)*g(x)), x → a = (lim (f(x)), x → a) * (lim (g(x)), x → a).Например, lim (sin(x)*cos(x)), x → 0 равен (lim (sin(x)), x → 0) * (lim (cos(x)), x → 0) = 0*1 = 0.
5
Аналогично, предел частного функций при x → a равен частному от деления их пределов, но только в том случае, если предел знаменателя не равен нулю: lim (f(x)/g(x)), x → a = (lim (f(x)), x → a) / (lim (g(x)), x → a), если lim (g(x)), x → a ≠ 0.Например, lim ((5x + 8)/(x - 2)), x → 4 равен (lim (5x + 8), x → 4) / (lim (x - 2), x → 4) = 28/2 = 14.
6
Если lim (f(x)), x → a = 0 и lim (g(x)), x → a = 0, то, вычисляя предел частного этих функций в точке a, вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0. Чтобы ее устранить, нужно постараться разложить числитель и знаменатель на множители и сократить те из них, которые обращаются в ноль при x = a.Например, пусть требуется найти lim ((x^2 - 9)/(x - 3)), x → 3. Упрощая дробь, вы получите (x^2 - 9)/(x - 3) = ((x - 3)*(x + 3))/(x - 3) = x + 3. Следовательно, искомый предел равен lim (x + 3), x → 3 = 6.
7
Если lim (f(x)), x → a = ±∞ и lim (g(x)), x → a = ±∞, то при вычислении предела частного этих функций в точке a вам придется устранить неопределенность типа ∞/∞. Это можно сделать, упростив выражение, как и в предыдущем случае. Другой способ раскрытия неопределенности состоит в том, чтобы разделить числитель и знаменатель на x в наибольшей степени, присутствующей в выражении, а после этого попытаться вычислить предел согласно приведенным выше правилам.
8
Если числитель и знаменатель частного f(x)/g(x) одновременно стремятся к нулю или бесконечности при x → a, то для раскрытия неопределенности можно воспользоваться правилом Лопиталя. Согласно этому правилу, предел частного функций в точке a равен пределу частного их производных в той же точке, то есть lim (f(x)/g(x)), x → a = lim (f′(x)/g′(x)), x → a.Например, пусть нужно вычислить lim (x^2/(x - 5)), x → ∞. Дифференцируя обе функции, вы получите (x^2)′/(x-5)′ = 2x/1 = 2x. Предел этой функции при x → ∞ равен ∞.
Полезен совет?
Видео по теме
Найдите сами
Поделитесь:
Добавить комментарий
Осталось символов: 500
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?