Совет 1: Как найти наклонную асимптоту

Асимптота функции — линия, к которой неограниченно приближается график этой функции. В широком смысле асимптотическая линия может быть и криволинейной, однако чаще всего этим словом обозначают прямые линии.
Инструкция
1
Если заданная функция имеет асимптоты, то они могут быть вертикальными или наклонными. Существуют также горизонтальные асимптоты, являющиеся частным случаем наклонных.
2
Предположим, что вам дана функция f(x). Если она не определена в некоторой точке x0 и по мере приближения x к x0 слева или справа f(x) стремится к бесконечности, то в этой точке функция имеет вертикальную асимптоту. Например, в точке x = 0 лишаются смысла функции 1/x и ln(x). Если x → 0, то 1/x → ∞, а ln(x) → -∞. Следовательно, обе функции в этой точке имеют вертикальную асимптоту.
3
Наклонная асимптота — прямая, к которой неограниченно стремится график функции f(x) по мере того, как x неограниченно возрастает или убывает. Функция может иметь и вертикальные, и наклонные асимптоты.

В практических целях различают наклонные асимптоты при x → ∞ и при x → -∞. В ряде случаев функция может стремиться к одной и той же асимптоте в обе стороны, но, вообще говоря, они не обязаны совпадать.
4
Асимптота, как и всякая наклонная прямая, имеет уравнение вида y = kx + b, где k и b — константы.

Прямая будет наклонной асимптотой функции при x → ∞, если по мере стремления x к бесконечности разность f(x) - (kx+b) стремится к нулю. Аналогично, если эта разность стремится к нулю при x → -∞, то прямая kx + b будет наклонной асимптотой функции в этом направлении.
5
Чтобы понять, имеет ли заданная функция наклонную асимптоту, и если имеет — найти ее уравнение, нужно вычислить константы k и b. Метод вычисления не меняется от того, в каком направлении вы ищете асимптоту.

Константа k, также называемая угловым коэффициентом наклонной асимптоты, является пределом отношения f(x)/x при x → ∞.

Например, путь задана функция f(x) = 1/x + x. Отношение f(x)/x будет в этом случае равно 1 + 1/(x^2). Его предел при x → ∞ равен 1. Следовательно, заданная функция имеет наклонную асимптоту с угловым коэффициентом 1.

Если коэффициент k получается нулевым, это значит, что наклонная асимптота заданной функции горизонтальна, и ее уравнение y = b.
6
Чтобы найти константу b, то есть смещение нужной нам прямой, понадобится вычислить предел разности f(x) - kx. В нашем случае эта разность равна (1/x + x) - x = 1/x. При x → ∞ предел 1/x равен нулю. Таким образом, b = 0.
7
Окончательный вывод состоит в том, что функция 1/x + x имеет наклонную асимптоту в направлении плюс бесконечности, уравнение которой y = x. Тем же способом легко доказать, что эта же прямая является наклонной асимптотой заданной функции и в направлении минус бесконечности.

Совет 2: Как находить асимптоты

Асимптотой графика функции у=f(x) называется прямая, график которой неограниченно прибли-жается к графику функции при неограниченном удалении произвольной точки M (x,y), принадлежащей f(x) на бесконечность (положительную или отрицательную), никогда не пересекая график функции. Удаление точки на бесконечность подразумевает под собой и случай, когда к бесконечности стремится только ордината или абсцисса у=f(x). Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Вам понадобится
  • - бумага;
  • - ручка;
  • - линейка.
Инструкция
1
На практике вертикальные асимптоты отыскиваются совсем просто. Это точки нулей знаменателя функции f(x).
Вертикальная асимптота – это вертикальная прямая. Ее уравнение x=a. Т.е. при х стремящимся к a (справа или слева), функция стремится к бесконечности (положительной или отрицательной).
Как находить асимптоты
2
Горизонтальная асимптота – это горизонтальная прямая y=A, к которой график функции неограниченно приближается при стремлении х к бесконечности (положительной или отрицательно) (см. рис.1), т.е.
рис.1 Вертикальная и горизонтальные асимптоты
3
Наклонные асимптоты находят немного более сложно. Определение их остается прежним, но задаются они уравнением прямой линии y=kx+b. Расстояние от асимптоты до графика функции здесь, в соответствии с рисунком 1 составляет |MP|. Очевидно, что если |MP| стремится к нулю, то к нулю стремится и длина отрезка |MN |. Точка М – ордината асимптоты, N – функции f(x). Абсцисса у них общая.
Расстояние |MN|=f(xM)- (kxM + b) или просто f(x)- (kx + b) , где k - тангенс угла наклона пряной (асимптоты) к оси абсцисс. f(x)- (kx + b) стремится к нулю, поэтому k можно найти как предел отношения (f(x)- b)/х, при х стремящемся к бесконечности (см. рис.2).
Как находить асимптоты
4
После нахождения k, следует определить b, вычислив предел разности f(x)- kх, при х стремящимся к бесконечности (см. рис.3).
Далее вам необходимо построить график асимптоты, также как и прямой y=kx+b.
Как находить асимптоты
5
Пример. Найти асимптоты графика функции y=(x^2+2x-1)/(x-1).
1. Очевидная вертикальная асимптота x=1 (как ноль знаменателя).
2. y/x = (x^2+2x-1)/(x-1)x = (x^2+2x-1)/(x^2-x). Поэтому, вычислив предел
на бесконечности от последней рациональной дроби, получиттся k=1.
f(x)-kx= (x^2+2x-1)/(x-1) – x = (x^2+2x-1-x^2+x)/(x-1)=3x/(x-1) - 1/(x-1).
Таким образом, вы получите b=3. . исходное уравнение наклонной асимптоты будет иметь вид: y=x+3 (см. рис.4).
Как находить асимптоты
Видео по теме
Источники:
  • когда не может быть горизонтальных асимптот
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500