Инструкция
1
Понятие неопределенного интеграла выводится из понятия первообразной функции. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если на всей области ее определения F′(x) = f(x).
2
У любой функции с одним аргументом может быть не больше одной производной. Однако с первообразными это не так. Если функция F(x) является первообразной для f(x), то функция F(x) + C, где C — любая ненулевая константа, тоже будет являться для нее первообразной.
3
Действительно, по правилу дифференцирования (F(x) + C)′ = F′(x) + C′ = f(x) + 0 = f(x). Таким образом, любая первообразная для f(x) выглядит как F(x) + C. Это выражение называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается ∫f(x)dx.
4
Если функция выражается через элементарные функции, то ее производная тоже всегда выражается через элементарные функции. Однако для первообразных это также неверно. Целый ряд простых функций, таких как sin(x^2), имеют неопределенные интегралы, не выражающиеся через элементарные функции. Интегрировать их можно только приближенно, численными методами, однако такие функции играют важную роль в некоторых областях математического анализа.
5
Простейшие формулы для неопределенных интегралов выводятся из правил дифференцирования. Например, ∫(x^2)dx = (x^3)/3, поскольку (x^3)′ = 3x^2. Вообще, для любого n ≠ -1 верно, что ∫(x^n)dx = (x^(n+1))/(n+1).
При n = -1 это выражение теряет смысл, однако функция f(x) = 1/x, тем не менее, интегрируема. ∫(1/x)dx = ∫dx/x = ln|x| + C. Обратите внимание, что функция ln|x|, в отличие от функции ln(x), определена на всей действительной оси, за исключением нуля, точно так же, как и функция 1/x.
6
Если функции f(x) и g(x) интегрируемы, то их сумма также интегрируема, и ∫(f(x) + g(x)dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx. Если функция f(x) интегрируема, то ∫af(x)dx = a∫f(x)dx. Эти правила можно комбинировать.
Например, ∫(x^2 + 2x + 1)dx = (x^3)/3 + x^2 + x + C.
7
Если ∫f(x)dx = F(x), то ∫f(x+a)dx = F(x+a) + C. Это называется подведением под знак дифференциала постоянного слагаемого. Под знак дифференциала можно подвести и постоянный множитель: ∫f(ax)dx = F(ax)/a + C. Комбинируя эти два приема, получим: ∫f(ax + b)dx = F(ax + b)/a + C. Например, если f(x) = sin(2x + 3), то ∫f(x)dx = -cos(2x + 3)/2 + C.
8
Если интегрируемую функцию можно представить в виде f(g(x))*g′(x), например, sin^2(x)*2x, то эта функция интегрируется методом замены переменной: ∫f(g(x))*g′(x)dx = ∫f(g(x)) dg(x) = F(g(x)) + C. Эта формула выводится из формулы производной сложной функции: f(g(x))′ = f′(g(x))*g′(x).
9
Если интегрируемую функцию можно представить в виде u(x)*v′(x), то ∫u(x)*v′(x)dx = uv - ∫v(x)*u′(x)dx. Это метод интегрирования по частям. Он используется, когда производная от u(x) намного проще, чем от v(x).
Например, пусть f(x) = x*sin(x). Здесь u(x) = x, v′(x) = sin(x), следовательно, v(x) = -cos(x), а u′(x) = 1. Тогда ∫f(x)dx = -x*cos(x) - ∫(-cos(x))dx = sin(x) - x*cos(x) + C.