Совет 1: Как вычислить число пи

Греческой буквой π (пи, pi) принято обозначать отношение длины окружности к ее диаметру. Это число, первоначально появившись в трудах древних геометров, впоследствии оказалось очень важным в очень многих отраслях математики. А значит, его нужно уметь вычислять.
Инструкция
1
π — иррациональное число. Это значит, что его невозможно представить в виде дроби с целым числителем и знаменателем. Более того, π — трансцендентное число, то есть оно не может служить решением никакого алгебраического уравнения. Таким образом, точное значение числа π записать невозможно. Однако есть методы, позволяющие вычислить его с любой требующейся степенью точности.
2
Древнейшие приближения, которыми пользовались геометры Греции и Египта, говорят, что π примерно равно квадратному корню из 10 или дроби 256/81. Но эти формулы дают значение π, равное 3,16, а этого явно недостаточно.
3
Архимед и другие математики вычисляли π с помощью сложной и трудоемкой геометрической процедуры — измерения периметров вписанных и описанных многоугольников. Полученное ими значение было равно 3,1419.
4
Еще одна приближенная формула определяет, что π = √2 + √3. Она дает значение для π, примерно равное 3,146.
5
С развитием дифференциального исчисления и других новых математических дисциплин в распоряжении ученых появился новый инструмент — степенные ряды. Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1674 году обнаружил, что бесконечный ряд
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9... + (1/(2n+1)*(-1)^n
в пределе сходится к сумме, равной π/4. Вычислять эту сумму просто, однако, чтобы достичь достаточной точности, понадобится много шагов, поскольку ряд сходится очень медленно.
6
Впоследствии были обнаружены и другие степенные ряды, позволяющие вычислять π быстрее, чем при помощи ряда Лейбница. Например, известно, что tg(π/6) = 1/√3, следовательно, arctg(1/√3) = π/6.
Функция арктангенса раскладывается в степенной ряд, и для заданного значения мы в результате получаем:
π = 2√3*(1 - (1/3)*(1/3) + (1/5)*(1/3)^2 - (1/7)*(1/3)^3… + 1/((2n + 1)*(-3)^n)…)
При помощи этой и других аналогичных формул число π было вычислено уже с точностью до миллионов знаков после запятой.
7
Для большинства практических расчетов вполне достаточно знать число π с точностью до семи знаков после запятой: 3,1415926. Его можно легко запомнить при помощи мнемонической фразы: «Три — четырнадцать — пятнадцать — девяносто два и шесть».

Совет 2: Как посчитать число пи

Число Пи, пожалуй, самая известная из математических констант. В отличие от числа e (основание натурального логарифма), константы Пифагора или даже «золотого сечения», большинство из нас может не задумываясь назвать ее приблизительное значение - 3,14. Однако этого бывает достаточно только для очень приблизительных вычислений и иногда возникает необходимость в вычислении более точного значения числа Пи.
Инструкция
1
Если вы хотите использовать наиболее очевидный путь расчета этой константы, то исходите из ее определения - число Пи показывает постоянное соотношение между длиной окружности и ее диаметром. Конкретные величины этих двух переменных значения не имеют, какой бы круг вы не рассматривали, соотношение всегда будет одинаковым - поэтому, собственно, это число и называется «константой». Зная эти две величины для любого круга, поделите периметр на диаметр и вы получите значение числа Пи. Однако при этом надо учитывать, что эта константа является числом иррациональным, то есть не имеющим точного значения. Поэтому вам неизбежно придется округлить полученную величину, исходя из допустимой степени точности.
2
Если у вас нет измеренных параметров круга, то воспользуйтесь «рациональными приближениями», то есть числами в формате обыкновенной дроби, которые определяют приблизительное значение этой константы. Наиболее древнее из таких приближений приписывается Архимеду и выражается дробью 22/7. Вы можете использовать заменитель числа Пи в таком виде, либо перевести его в десятичную дробь - значение будет иметь конечное число цифр после запятой. Большую точность (число цифр после десятичной запятой) дают соотношения 377/120 и 355/113.
3
Если вам важен лишь результат вычисления, а его ход значения не имеет, то проще всего не делить числа самостоятельно, а воспользоваться уже рассчитанными значениями, отобрав нужное число цифр после запятой. На сегодня эта константа рассчитана с точностью до десяти триллионов разрядов после десятичного разделителя. Если вам достаточна точность в миллион знаков, то воспользуйтесь, например, сервисом, размещенным на этой странице - http://eveandersson.com/pi/digits. Там вы можете указать нужное количество знаков и задать размер групп, на которые их следует разбивать, а затем нажать кнопку Show и скопировать для последующего использования отображенный скриптом результат.
Видео по теме
Обратите внимание
Существует много способов вычисления числа Пи. Самым простым и понятным является численный метод Монте-Карло, суть которого сводится к простейшему перебору точек на площади.  double y=radius*radius-x*x; return y; } Программа выводит значения числа Пи в зависимости от радиуса и количества точек. Единственное, что остается читателю, это скомпилировать её самостоятельно и запустить с параметрами, которые желает он.
Полезный совет
Но неутомимые ученые продолжали и продолжали вычислять десятичные знаки числа пи, что является на самом деле дико нетривиальной задачей, потому что просто так в столбик его не вычислить: число это не только иррациональное, но и трансцендентное (это вот как раз такие числа, которые не вычисляются путем простых уравнений). Ученые Токийского университета сумели поставить мировой рекорд в вычислениях числа Пи до 12411-триллионного знака.
Источники:
  • История числа Пи
Поиск
ВАЖНО! Проблемы сердца сильно "помолодели". Потратьте 3 минуты на просмотр ролика. Защитите себя и близких от страшных проблем.
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500