Совет 1: Как определить радиус кривизны

Для изучения движения некоторого физического объекта (автомобиль, велосипедист, шарик в рулетке) достаточно изучить движение некоторых его точек. При исследовании движения оказывается, что все точки описывают некоторые кривые линии.
Инструкция
1
Знайте, что кривыми можно описать движение жидкости, газа, световых лучей, линий тока. Радиусом кривизны для плоской кривой в определенной точке является радиус касательной окружности в этой точке. В некоторых случаях кривая задается уравнениями, и радиус кривизны вычисляется по формулам. Соответственно, чтобы узнать радиус кривизны, необходимо узнать радиус окружности, касающейся определенной точки.
2
Определите на плоскости кривой точку А, вблизи нее возьмите еще одну точку В. Постройте касательные к имеющейся кривой, которые проходят через точки А и В.
3
Проведите через точки А и В линии, перпендикулярные построенным касательным, продлите их до пересечения. Обозначьте точку пересечения перпендикуляров, как О. Точка О является центром касательной окружности в данной точке. Значит ОА – радиус окружности, т.е. кривизны в данной конкретной точке А.
4
Заметим, что при движении точки по любой криволинейной траектории в любой момент движения она движется по какой-то окружности, которая меняется от точки к точке.
5
Если для точки в пространстве определить кривизны в двух взаимно перпендикулярных направлениях, то эти кривизны будут называться главными. Направление главных кривизн должно быть обязательно 900. Для вычислений часто используют среднюю кривизну, равную полусумме главных кривизн, и гауссову кривизну, равную их произведению. Существует также понятие кривизны кривой. Это величина, обратная радиусу кривизны.
6
Ускорение является важным фактором движения точки. Кривизна траектории напрямую влияет на ускорение. Ускорение возникает в том случае, когда точка с постоянной скоростью начинает двигаться по кривой. Меняется не только абсолютная величина скорости, но и ее направление, возникает центростремительное ускорение. Т.е. в реальности точка начинает двигаться по окружности, которой касается в данный момент времени.

Совет 2: Как узнать радиус кривизны

Пусть задана функция, определенная уравнением y = f(x) и соответствующим графиком. Требуется найти радиус ее кривизны, то есть измерить степень искривленности графика этой функции в некоторой точке x0.
Инструкция
1
Кривизна любой линии определяется скоростью поворота ее касательной в точке x при движении этой точки по кривой. Поскольку тангенс угла наклона касательной равен значению производной от f(x) в этой точке, то скорость изменения этого угла должна зависеть от второй производной.
2
Эталоном кривизны логично принять окружность, поскольку она равномерно искривлена на всем своем протяжении. Радиус такой окружности есть мера ее кривизны.

По аналогии, радиусом кривизны заданной линии в точке x0 называется радиус окружности, которая наиболее точно измеряет степень ее искривленности в этой точке.
3
Требуемая окружность должна соприкасаться с заданной кривой в точке x0, то есть располагаться со стороны ее вогнутости так, чтобы касательная к кривой в этой точке была также и касательной к окружности. Это значит, что если F(x) — уравнение окружности, то должны выполняться равенства:

F(x0) = f(x0),
F′(x0) = f′(x0).

Таких окружностей, очевидно, существует бесконечно много. Но для измерения кривизны необходимо выбрать ту, которая наиболее точно соответствует заданной кривой в этой точке. Поскольку кривизна измеряется второй производной, то к этим двум равенствам необходимо добавить еще и третье:

F′′(x0) = f′′(x0).
4
Исходя из этих соотношений, радиус кривизны вычисляется по формуле:

R = ((1 + f′(x0)^2)^(3/2))/(|f′′(x0)|).

Величина, обратная радиусу кривизны, называется кривизной линии в данной точке.
5
Если f′′(x0) = 0, то радиус кривизны равен бесконечности, то есть линия в этой точке не искривлена. Это всегда верно для прямых, а также для любых линий в точках перегиба. Кривизна в таких точках, соответственно, равна нулю.
6
Центр окружности, измеряющей кривизну линии в заданной точке, называется центром кривизны. Линия, являющаяся геометрическим местом для всех центров кривизны заданной линии, называется ее эволютой.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500