Совет 1: Как решать ряды

Ряды являются основой математического анализа. Именно поэтому так важно научиться их правильно решать, так как в дальнейшем вокруг них будут крутиться остальные понятия.
Инструкция
1
При первом знакомстве с рядами порою весьма трудно понять, как они устроены. Тем более проблематично решать их. Но со временем вы наберетесь опыта и будете ориентироваться в данном вопросе.
Первым делом необходимо начать с самого элементарного, а именно с изучения сходимости и расходимости числовых рядов. Данная тема является основополагающей, тем фундаментом, без которого дальнейшее продвижение будет невозможно.
2
Далее нужно определиться с понятием частичной суммы ряда. Соответствующая последовательность существует всегда, но надо суметь ее не только увидеть, но и правильно составить. Затем вам потребуется найти предел. Если он существует, то ряд будет сходящимся. В противном случае - расходящимся. Это и будет решением ряда.
3
Весьма часто на практике встречаются ряды, которые образованы из элементов геометрической прогрессии. Они называются геометрическими рядами. В этом случае, решением послужит один немаловажный факт. При условии, что знаменатель геометрической прогрессии меньше единицы, ряд будет сходящимся. Если он больше либо равен единицы, то расходящимся.
4
Если же решение найти не удалось, вы можете воспользоваться необходимым признаком сходимости рядов. Он гласит, что если числовой ряд сходится, то предел частичных сумм будет равен нулю. Признак не является достаточным, поэтому в обратном направлении не действует. Но встречаются примеры, в которых предел частичных сумм окажется равным нулю, а значит, решение найдено, то есть сходимость ряда будет обоснована.
5
Данная теорема не всегда применима в сложных ситуациях. Может оказаться, что все члены ряда положительные. Для того, чтобы отыскать его решение, вам потребуется найти область значения ряда. А затем, если последовательность частичных сумм будет ограничена сверху, ряд будет сходящимся. В противном случае - расходящимся.

Совет 2: Как решать числовые ряды

Из названия числового ряда очевидно, что это последовательность чисел. Применяется этот термин в математическом, а также комплексном анализе как система приближений к числам. Понятие числового ряда неразрывно связано с понятием предела, а основной характеристикой является сходимость.
Инструкция
1
Пусть есть числовая последовательность вида a_1, a_2, a_3, …, a_n и некоторая последовательность s_1, s_2, …, s_k, где n и k стремятся к ∞, а элементы последовательности s_j представляют собой суммы некоторых членов последовательности a_i. Тогда последовательность a является числовым рядом, а s - последовательностью его частичных сумм:
s_j = Σa_i, где 1 ≤ i ≤ j.
2
Задачи на решение числовых рядов сводятся к определению его сходимости. Говорят, что ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм и абсолютно сходится, если последовательность модулей его частичных сумм сходится. И наоборот, если расходится последовательность частичных сумм ряда, то он расходится.
3
Чтобы доказать сходимость последовательности частичных сумм, необходимо перейти к понятию ее предела, который называют суммой ряда:
S = lim_n→∞ Σ_(i=1)^n a_i.
4
Если этот предел существует и он конечен, то ряд сходится. Если он не существует или бесконечен, то ряд расходится. Есть еще один необходимый, но не достаточный признак сходимости ряда. Это общий член ряда a_n. Если он стремится к нулю: lim a_i = 0 при I → ∞, то ряд сходится. Это условие рассматривают в совокупности с анализом других признаков, т.к. оно недостаточное, однако если общий член не стремится к нулю, то ряд однозначно расходится.
5
Пример1.
Определите сходимость ряда 1/3 + 2/5 + 3/7 + … + n/(2*n+1) + ….
Решение.
Примените необходимый признак сходимости – стремится ли общий член к нулю:
lim a_i = lim n/(2*n+1) = ½.
Итак, a_i ≠ 0, следовательно, ряд расходится.
6
Пример2.
Определите сходимость ряда 1 + ½ + 1/3 + … + 1/n + ….
Решение.
Стремится ли общий член к нулю:
lim 1/n = 0. Да, стремится, выполнен необходимый признак сходимости, однако этого недостаточно. Теперь с помощью предела последовательности сумм попробуем доказать, что ряд расходится:
s_n = Σ_(k=1)^n 1/k = 1 + ½ + 1/3 + … + 1/n. Последовательность сумм, хоть и очень медленно, но очевидно стремится к ∞, следовательно, ряд расходится.
7
Признак сходимости Даламбера.
Пусть существует конечный предел отношения последующего и предыдущего членов ряда lim (a_(n+1)/a_n) = D. Тогда:
D < 1 – ряд сходится;
D > 1 – ряд расходится;
D = 1 – решение неопределенно, нужно воспользоваться дополнительным признаком.
8
Радикальный признак сходимости Коши.
Пусть существует конечный предел вида lim √(n&a_n) = D. Тогда:
D < 1 – ряд сходится;
D > 1 – ряд расходится;
D = 1 – нет однозначного ответа.
9
Эти два признака можно использовать в совокупности, однако признак Коши более сильный. Существует также интегральный признак Коши, согласно которому для определения сходимости ряда необходимо найти соответствующий определенный интеграл. Если он сходится, то сходится и ряд, и наоборот.
Видео по теме
Обратите внимание
1) Если числовой ряд сходится, то он будет сходится и в случае, если каждый член последовательность будет умножен на константу(то есть на постоянную).

2) Если два ряда сходятся, то и ряд, полученный при помощи их сложения, также будет сходиться.
Полезный совет
1) Помните, что всякий ряд является последовательностью. Поэтому зачастую удобно при решении переходить к числовой сумме. Если вы найдете решение последовательности, то вам не составит труда отыскать решение ряда.

2) При решении геометрического ряда вам не нужно досконально его исследовать. Всего лишь потребуется найти знаменатель геометрической прогрессии и сравнить его с единицей. Этот факт нужно запомнить.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500