Совет добавлен

Как найти асимптоты графика функции

Асимптоты – это прямые, к которым неограниченно приближается кривая графика функции при стремлении аргумента функции к бесконечности. Прежде чем приступить к построению графика функции, нужно найти все вертикальные и наклонные (горизонтальные) асимптоты, если они существуют.
Как найти асимптоты графика функции
Инструкция
1
Найдите вертикальные асимптоты. Пусть дана функция y=f(x). Найдите ее область определения и выделите все точки a, в которых эта функция не определена. Подсчитайте пределы lim(f(x)), когда x стремится к a, к (a+0) или к (a−0). Если хотя бы один такой предел равен +∞ (или -∞), то вертикальной асимптотой графика функции f(x) будет прямая x=a. Вычислив два односторонних предела, вы определите как себя ведет функция при приближении к асимптоте с разных сторон.
2
Изучите несколько примеров. Пусть функция y=1/(x²−1). Подсчитайте пределы lim(1/(x²−1)), когда x стремится к (1±0), (-1±0). Функция имеет вертикальные асимптоты x=1 и x=-1, так как эти пределы равны +∞. Пусть дана функция y=cos(1/x). У этой функции нет вертикальной асимптоты x=0, так как область изменения функции косинус отрезок [-1; +1] и ее предел никогда не будет равен ±∞ при любых значениях x.
3
Найдите теперь наклонные асимптоты. Для этого подсчитайте пределы k=lim(f(x)/x) и b=lim(f(x)−k×x) при x, стремящемся к +∞ (или -∞). Если они существуют, то наклонная асимптота графика функции f(x) будет задана уравнением прямой y=k×x+b. Если k=0, прямая y=b называется горизонтальной асимптотой.
4
Рассмотрите для наилучшего понимания следующий пример. Пусть дана функция y=2×x−(1/x). Подсчитайте предел lim(2×x−(1/x)) при x, стремящемся к 0. Этот предел равен ∞. То есть вертикальной асимптотой функции y=2×x−(1/x) будет прямая x=0. Найдите коэффициенты уравнения наклонной асимптоты. Для этого подсчитайте предел k=lim((2×x−(1/x))/x)=lim(2−(1/x²)) при x, стремящимся к +∞, то есть получается k=2. И теперь подсчитайте предел b=lim(2×x−(1/x)−k×x)= lim(2×x−(1/x)−2×x)=lim(-1/x) при x, стремящимся к +∞, то есть b=0. Таким образом, наклонная асимптота данной функции задана уравнением y=2×x.
5
Обратите внимание, что асимптота может пересекать кривую. Например, для функции y=x+e^(-x/3)×sin(x) предел lim(x+e^(-x/3)×sin(x))=1 при x, стремящимся к ∞, а lim(x+e^(-x/3)×sin(x)−x)=0 при x, стремящимся к ∞. То есть асимптотой будет прямая y=x. Она пересекает график функции в нескольких точках, например, в точке x=0.
Обратите внимание
Знак ^ обозначает возведение в степень.
Найдите сами

Поделитесь:
Полезен совет?
Добавить комментарий
Осталось символов: 500
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?