Совет 1: Как привести матрицу к ступенчатому виду

Матрица – это система элементов, расположенных в виде прямоугольной таблицы. Для определения ранга матрицы, нахождения её определителя и обратной матрицы необходимо привести заданную матрицу к ступенчатому виду. Матрицы ступенчатого вида также удобны для выполнения прочих операций над матрицами.
Инструкция
1
Матрица называется ступенчатой, если выполнены следующие условия:
• после нулевой строки идут только нулевые строки;
• первый ненулевой элемент в каждой последующей строке расположен правее, чем в предыдущей.
В линейной алгебре имеется теорема, согласно которой любая матрица может быть приведена к ступенчатому виду путем следующих элементарных преобразований:
• перемена местами двух строк матрицы;
• прибавление к одной строке матрицы другой её строки, умноженной на число.
2
Рассмотрим приведение матрицы к ступенчатому виду на примере матрицы A, представленной на рисунке. Решая задачу, первым делом внимательно изучите строки матрицы. Возможно ли переставить местами строчки так, чтобы в дальнейшем было удобнее проводить вычисления. В нашем случае мы видим, что будет удобно поменять местами первую и вторую строчки. Во-первых, если первый элемент первой строчки равен числу 1, то это значительно упрощает последующие элементарные преобразования. Во-вторых, вторая строчка уже будет соответствовать ступенчатому виду, т.е. первый её элемент равен 0.
3
Далее обнулите все первые элементы столбцов (кроме первой строки). В нашем случае это сделать проще, т.к. первая строка начинается с числа 1. Поэтому мы последовательно умножаем первую строчку на соответствующее число и вычитаем из получившейся строки строчку матрицы. Обнуляя третью строку, умножаем первую строчку на число 5 и вычитаем из результата третью строку. Обнуляя четвертую строку, умножаем первую строку на число 2 и вычитаем из результата четвертую строку.
4
Следующим этапом обнулите вторые элементы строк, начиная с третьей строки. Для нашего примера для обнуления второго элемента третьей строчки достаточно умножить вторую строчку на число 6 и вычесть из результата третью строчку. Для получения нуля в четвертой строчке придется выполнить более сложное преобразование. Надо умножить вторую строчку на число 7, а четвертую строчку на число 3. Таким образом мы получим на месте второго элемента строк число 21. Далее вычитаем одну строчку из другой и получаем на месте второго элемента 0.
5
И наконец, обнуляем третий элемент четвертой строки. Для этого необходимо умножить третью строку на число 5, а четвертую строку на число 3. Вычитаем одну строку из другой и получаем матрицу A, приведенную к ступенчатому виду.

Совет 2: Как решать матрицу по Гауссу

Метод Гаусса является одним из основных принципов решения системы линейных уравнений. Его преимущество заключается в том, что оно не требует квадратичности исходной матрицы или же предварительного расчете ее определителя.
Вам понадобится
  • Учебник по высшей математике.
Инструкция
1
Итак у вас есть система линейных алгебраических уравнений. Данный метод состоит из двух основных ходов - прямого и обратного.
Как решать <strong>матрицу</strong> по <b>Гауссу</b>
2
Прямой ход:Запишите систему в матричном виде.Составьте расширенную матрицу и приведите ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Стоит напомнить, что матрица имеет ступенчатый вид, если выполняются следующие два условия: Если какая-то строка матрицы нулевая, то все последующие строки тоже являются нулевыми; Опорный элемент каждой последующий строки находится правее, чем в предыдущей.Элементарным преобразованием строк называют действия следующих трех типов:
1) перестановка местами любых двух строк матрицы.
2) замена любой строки суммой этой строки с любой другой, предварительно умноженной на некоторое число.
3) умножение любой строки на отличное от нуля число.Определите ранг расширенной матрицы и сделайте вывод о совместности системы. Если ранг матрица А не совпадает с рангом расширенной матрицы, то система не совместна и соответственно не имеет решения. Если же ранги не совпадают, то система совместна, и продолжайте поиск решений.
Матричный вид системы
3
Обратный ход:Объявите базисными неизвестными те, номера которых совпадут с номерами базисных столбцов матрицы А (ее ступенчатого вида), а остальные переменные будете считать свободными. Число свободных неизвестных вычисляем по формуле k=n-r(A), где n-число неизвестных, r(A)-ранг матрица А.Далее вернитесь к ступенчатой матрице. Приведите ее к виду Гаусса. Напомним, что ступенчатая матрица имеет вид Гаусса, если все опорные элементы ее равны единице, а над опорными элементами одни нули. Запишите систему алгебраических уравнений, которая соответствует матрице вида Гаусса, обозначив свободные неизвестные как C1,...,Ck.На следующем шаге выразите из полученной системы базисные неизвестные через свободные.
4
Запишите ответ в векторном или покоординатном виде.
Видео по теме
Совет полезен?
Существует множество программ для решения данной задачи. Если интересует именно ответ, а не механизм метода, то вполне можно воспользоваться ими.

Совет 3: Как находить ранг матрицы

Рангом матрицы А (rang A или r(A)) называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов. Рассмотрим матрицу А размера 3×4, значит r(A)≤3. С помощью элементарных преобразований, не меняющих ранг матрицы ,приведем матрицу А к ступенчатому виду.
Инструкция
1
Транспортируем матрицу А.
2
Умножим элементы 1-й строки на (-1), сложим ее со 2-й и 3-й строками матрицы. В новой матрице меняем местами 2-ю и 3-ю строки.
3
Умножим элементы 2-й строки на 3 и сложим с элементами 3-й строки.

Получили ступенчатую матрицу размера 3?4, у которой 3 ненулевых элемента на главной диагонали, значит, r(А)=3. Эта матрица имеет ненулевой минор 3-го порядка.
Видео по теме

Совет 4: Как решать матрицу методом гаусса

Решение матрицы в классическом варианте находится с помощью метода Гаусса. Данный метод основан на последовательном исключении неизвестных переменных. Решение выполняется для расширенной матрицы, то есть с включенным столбцом свободных членов. При этом коэффициенты, составляющие матрицу, в результате проведенных преобразований образуют ступенчатую или треугольную матрицу. Относительно главной диагонали все коэффициенты матрицы, кроме свободных членов, должны быть приведены к нулю.
Инструкция
1
Определите совместность системы уравнений. Для этого посчитайте ранг основной матрицы А, то есть без столбца свободных членов. Затем добавьте столбец свободных членов и вычислите ранг получившейся расширенной матрицы В. Ранг должен быть отличным от нуля, тогда система имеет решение. При равных значениях рангов существует единственное решение данной матрицы.
Как решать <b>матрицу</b> <em>методом</em> гаусса
2
Приведите расширенную матрицу к виду, когда по главной диагонали располагаются единицы, а ниже нее все элементы матрицы равны нулю. Для этого первую строку матрицы разделите на ее первый элемент так, чтобы первый элемент главной диагонали стал равен единице.
Как решать <b>матрицу</b> <em>методом</em> гаусса
3
Отнимите первую строку от всех нижних строк так, чтобы в перовом столбце все нижние элементы обратились в ноль. Для этого помножьте сначала первую строку на первый элемент второй строки и отнимите строки. Затем аналогично помножьте первую строку на первый элемент третьей строки и отнимите строки. И так продолжайте со всеми строками матрицы.
Как решать <b>матрицу</b> <em>методом</em> гаусса
4
Разделите вторую строку на коэффициент во втором столбце так, чтобы следующий элемент главной диагонали на второй строке и во втором столбце стал равен единице.
Как решать <b>матрицу</b> <em>методом</em> гаусса
5
Отнимите вторую строку от всех нижних строк таким же образом, как описано выше. Все нижестоящие относительно второй строки элементы должны обратиться в ноль.
Как решать <b>матрицу</b> <em>методом</em> гаусса
6
Аналогично проведите образование следующей единички на главной диагонали в третьей и последующих строках и обнуление нижестоящих коэффициентов матрицы.
Как решать <b>матрицу</b> <em>методом</em> гаусса
7
Затем приведите полученную треугольную матрицу к виду, когда элементы над главной диагональю также представляют собой нули. Для этого отнимите последнюю строку матрицы из всех вышестоящих строк. Домножайте на соответствующий коэффициент и вычитайте стоки так, чтобы обратились в ноль элементы столбца, где в текущей строке имеется единичка.
Как решать <b>матрицу</b> <em>методом</em> гаусса
8
Проведите подобное вычитание всех строк в порядке снизу вверх, пока не обнулятся все элементы выше главной диагонали.
9
Оставшиеся элементы в столбце свободных членов и являются решением заданной матрицы. Запишите полученные значения.
Как решать <b>матрицу</b> <em>методом</em> гаусса
Видео по теме
Источники:
  • матрицы метод гаусса
Обратите внимание
Если числа строк небольшие или удобные для проведения вычислений, то можно выполнять сразу несколько операций за один шаг. В других случаях лучше не торопиться и записать каждый шаг в отдельности.
Полезный совет
В интернете можно найти программы, приводящие матрицу к ступенчатому виду. Их очень удобно использовать для проверки получившегося результата.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500