Совет 1: Как найти нормальный вектор к плоскости

Нормальным вектором плоскости (или нормалью плоскости) называют вектор, перпендикулярный данной плоскости. Одним из способов задать плоскость является указание координат ее нормали и точки, лежащей на плоскости. Если плоскость задана уравнением Ax+By+Cz+D=0, то нормальным к ней является вектор с координатами (A;B;C). В других случаях для вычисления нормального вектора придется потрудиться.
Инструкция
1
Пусть плоскость задана тремя принадлежащими ей точками K(xk;yk;zk), M(xm;ym;zm), P(xp;yp;zp). Чтобы найти нормальный вектор, составим уравнение этой плоскости. Обозначьте произвольную точку, лежащую на плоскости, буквой L, пусть у нее будут координаты (x;y;z). Теперь рассмотрите три вектора PK, PM и PL, они лежат на одной плоскости (компланарны), поэтому их смешанное произведение равно нулю.
2
Найдите координаты векторов PK, PM и PL:
PK = (xk-xp;yk-yp;zk-zp)
PM = (xm-xp;ym-yp;zm-zp)
PL = (x-xp;y-yp;z-zp)
Смешанное произведение этих векторов будет равно определителю, представленному на рисунке. Этот определитель следует вычислить, чтобы найти уравнение для плоскости. Вычисление смешанного произведения для конкретного случая смотрите в примере.
3
Пример
Пусть плоскость задана тремя точками K(2;1;-2), M(0;0;-1) и P(1;8;1). Требуется найти нормальный вектор плоскости.
Возьмите произвольную точку L с координатами (x;y;z). Вычислите векторы PK, PM и PL:
PK = (2-1;1-8;-2-1) = (1;-7;-3)
PM = (0-1;0-8;-1-1) = (-1;-8;-2)
PL = (x-1;y-8;z-1)
Составьте определитель для смешанного произведения векторов (он на рисунке).
4
Теперь разложите определитель по первой строке, а затем подсчитайте значения определителей размера 2 на 2.
Таким образом уравнение плоскости -10x + 5y - 15z - 15 = 0 или, что то же, -2x + y - 3z - 3 = 0. Отсюда легко определить вектор нормали к плоскости: n = (-2;1;-3).

Совет 2: Как найти нормальный вектор

Перед тем как ответить на поставленный вопрос, требуется определить, нормаль чего именно необходимо искать. В данном случае, предположительно, в задаче рассматривается некая поверхность.
Инструкция
1
Приступая к решению поставленной задачи, следует помнить, что нормаль к поверхности определяется как нормаль к касательной плоскости. Исходя именно из этого и будет выбираться методика решения.
2
График функции двух переменных z=f(x, y)=z(x, y) – это поверхность в пространстве. Таким образом ее чаще всего и задают. В первую очередь необходимо найти касательную плоскость к поверхности в некоторой точке М0(x0, y0, z0), где z0=z(x0, y0).
3
Для этого следует вспомнить, что геометрический смысл производной функции одного аргумента, это угловой коэффициент касательной к графику функции в точке, где y0=f(x0). Частные производные функции двух аргументов находят, фиксируя «лишний» аргумент точно так же, как и производные обычных функций. Значит геометрический смысл частной производной по x функции z=z(x, y) в точке (x0,y0) состоит в равенстве ее углового коэффициента касательной, к кривой, образуемой пересечением поверхности и плоскости y=y0 (см. рис. 1).
4
Данные, отраженные на рис. 1, позволяют заключить, что уравнение касательной к поверхности z=z(x, y), содержащей точку М0(xo, y0, z0) в сечении при y=y0: m(x-x0)=(z-z0), y=y0. В каноническом виде можно записать:(x-x0)/(1/m)=(z-z0)/1, y=y0. Значит направляющий вектор этой касательной s1(1/m, 0, 1).
5
Теперь, если угловой коэффициент касательно для частной производной по y обозначить n, то совершенно очевидно, что аналогично предыдущему выражению, это приведет к (y-y0)/(1/n)=(z-z0), x=x0 и s2(0, 1/n, 1).
6
Далее продвижение решения в виде поиска уравнения касательной плоскости можно прекратить и перейти непосредственно к искомой нормали n. Ее можно получить как векторное произведение n=[s1, s2]. Вычислив его, будет определено, что в заданной точке поверхности (x0, y0, z0). n={-1/n, -1/m, 1/mn}.
7
Так как любой пропорциональный вектор также останется вектором нормали, удобнее всего ответ представить в виде n={-n, -m, 1} и окончательно n(дz/дx, дz/дx, -1).
Видео по теме
Обратите внимание
У незамкнутой поверхности имеется две стороны. В данном случае ответ дан для «верхней» стороны, там где нормаль образует острый угол с осью 0Z.
Источники:
  • Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Поиск
Совет полезен?
Комментарии 1
Пожаловаться
написал(а)
непонятно как получилось -10x + 5y - 15z - 15 = 0, на рисунке ничего нет, про какой определитель идет речь? можно было и расписать раз уж начали
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500