Совет 1: Как найти катет прямоугольного треугольника, если известна гипотенуза

Треугольник – это часть плоскости, ограниченная тремя отрезками прямых, называемых сторонами треугольника, имеющими попарно по одному общему концу, называемых вершинами треугольника. Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным.
Инструкция
1
Стороны прямоугольного треугольника, прилегающие к прямому углу (AB и BC), называются катетами. Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой (AC).

Пусть нам известна гипотенуза AC прямоугольного треугольника ABC: |AC| = c. Обозначим угол с вершиной в точке A как ∟α, угол с вершиной в точке B как ∟β. Нам необходимо найти длины |AB| и |BC| катетов.
2
Пусть известен один из катетов прямоугольного треугольника. Предположим |BC| = b. Тогда мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: a^2 + b^2 = c^2. Из данного уравнения находим неизвестный катет |AB| = a = √ (c^2 - b^2).
3
Пусть известен один из углов прямоугольного треугольника, предположим ∟α. Тогда катеты AB и BC прямоугольного треугольника ABC можно найти, используя тригонометрические функции. Так получаем: синус ∟α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе sin α = b / c, косинус ∟α равен отношению прилежащего катета к гипотенузе cos α = a / c. Отсюда находим требуемые длины сторон: |AB| = a = с * cos α, |BC| = b = c * sin α.
4
Пусть известно соотношение катетов k = a / b. Также решаем задачу с использованием тригонометрических функций. Отношение a / b есть ни что иное, как котангенс ∟α: отношение прилежащего катета к противолежащему ctg α = a / b. В этом случае из данного равенства выражаем a = b * ctg α. И подставляем в теорему Пифагора a^2 + b^2 = c^2:

b^2 * ctg^2 α + b^2 = c^2. Выносим b^2 за скобки, получаем b^2 * (ctg^2 α + 1) = c^2. И отсюда легко получаем длину катета b = c / √(ctg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), где k – заданное соотношение катетов.

По аналогии, если известно соотношение катетов b / a, решаем задачу с применением тригонометрической функции тангенс tg α = b / a. Подставляем значение b = a * tg α в теорему Пифагора a^2 * tg^2 α + a^2 = c^2. Отсюда a = c / √(tg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), где k – заданное соотношение катетов.
5
Рассмотрим частные случаи.

∟α = 30°. Тогда |AB| = a = c * cos α = c * √3 / 2; |BC| = b = c * sin α = c / 2.

∟α = 45°. Тогда |AB| = |BC| = a = b = c * √2 / 2.

Совет 2: Как найти стороны прямоугольного треугольника

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника рассматриваются в разделе математики, который называется тригонометрией. Для нахождения сторон прямоугольного треугольника достаточно знать теорему Пифагора, определения тригонометрических функций, и иметь какое-либо средство для нахождения значений тригонометрических функций, например, калькулятор или таблицы Брадиса. Рассмотрим ниже основные случаи задач нахождения сторон прямоугольного треугольника.
Вам понадобится
  • Калькулятор, таблицы Брадиса.
Инструкция
1
Примем следующие обозначения:

с – длина гипотенузы (стороны, противолежащей прямому углу);

a, b – длины катетов (сторон, прилежащих к прямому углу);

A – угол, противолежащий катету a;

В – угол, противолежащий катету b.
2
В случае, когда вам известны гипотенуза с и один из катетов (например, катет а), второй катет можно вычислить из теоремы Пифагора: b=sqrt(с^2-а^2). Здесь и далее «sqrt» – операция извлечения квадратного корня, «^2» - операция возведения в квадрат.
3
Если известны оба катета, гипотенуза находится также из теоремы Пифагора: с=sqrt(а^2+b^2).
4
Если вам задан один из острых углов, например, A, и гипотенуза, то катеты можно найти из определений основных тригонометрических функций:

a= c*sin(A), b= c*cos(A).
5
Если задан один из острых углов, например, A, и один из катетов, например, a, то гипотенуза и другой катет вычисляются из соотношений: b=a*tg(A), c=a*sin(A).
Совет полезен?
В том случае, если вам не известно значение синуса или косинуса какого-то из необходимых для расчёта углов, вы можете воспользоваться таблицами Брадиса, в них приводятся значения тригонометрических функций для большого числа углов. Кроме того, большинство современных калькуляторов способны рассчитывать синусы и косинусы углов.
Источники:
  • как вычислить сторону прямоугольного треугольника

Совет 3: Как найти угол, если известны стороны прямоугольного треугольника

Треугольник, один из углов которого является прямым (равен 90°), называют прямоугольным. Его самая длинная сторона всегда лежит напротив прямого угла и называется гипотенузой, а две другие стороны называют катетами. Если длины этих трех сторон известны, то найти величины всех углов треугольника не составит труда, так как фактически потребуется вычислить всего один из углов. Сделать это можно несколькими способами.
Инструкция
1
Используйте для вычисления величин углов (α, β, γ) определения тригонометрических функций через прямоугольный треугольник. Такое определение, например, для синуса острого угла формулируется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы. Значит, если известны длины катетов (A и B) и гипотенузы (C), то найти, например, синус угла α, лежащего напротив катета A можно, разделив длину стороны А на длину стороны C (гипотенузы): sin(α)=A/C. Узнав значение синуса этого угла можно найти его величину в градусах, использовав обратную синусу функцию - арксинус. То есть α=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C). Таким же способом можно найти и величину другого острого угла в треугольнике, но в этом нет необходимости. Так как сумма всех углов треугольника всегда составляет 180°, а в прямоугольном треугольнике один из углов равен 90°, то величину третьего угла можно посчитать как разность между 90° и величиной найденного угла: β=180°-90°-α=90°-α.
2
Вместо определения синуса можно использовать определение косинуса острого угла, которое формулируется как отношение длины прилежащего к искомому углу катета к длине гипотенузы: cos(α)=B/C. И здесь задействуйте обратную тригонометрическую функцию (арккосинус), чтобы найти величину угла в градусах: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). После этого, как и в предыдущем шаге, останется найти величину недостающего угла: β=90°-α.
3
Можно воспользоваться аналогичным определением тангенса - он выражается соотношением длины противолежащего искомому углу катета к длине катета прилежащего: tg(α)=A/B. Величину угла в градусах снова определяйте через обратную тригонометрическую функцию - арктангенс: α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). Формула величины недостающего угла останется без изменений: β=90°-α.
Видео по теме

Совет 4: Как найти длину стороны прямоугольного треугольника

Прямоугольным считается такой треугольник, у которого один из углов прямой. Сторона треугольника, расположенная напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны - катетами. Чтобы найти длины сторон прямоугольного треугольника, можно воспользоваться несколькими способами.
Инструкция
1
Можно узнать размер третьей стороны, зная длины двух других сторон треугольника. Это можно выполнить с помощью теоремы Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. (a² = b²+ c²). Отсюда можно выразить длины всех сторон прямоугольного треугольника:
b² = a² - c²;
c² = a² - b²
К примеру, у прямоугольного треугольника известна длина гипотенузы a (18 см) и одного из катетов, например c (14 см). Чтобы найти длину другого катета, требуется совершить 2 алгебраических действия:
с² = 18² - 14² = 324 - 196 = 128 см
c = √128 см
Ответ: длина второго катета составляет √128 см или, приблизительно, 11.3 см
2
Можно прибегнуть к другому способу, если известны длина гипотенузы и величина одного из острых углов данного прямоугольного треугольника. Пусть длина гипотенузы равна c, один из острых углов равен α. В таком случае, найти 2 другие стороны прямоугольного треугольника можно будет при помощи следующих формул:
a = с*sinα;
b = с*cosα.
Можно привести пример: длина гипотенузы равна 15 см, один из острых углов равен 30 градусам. Для нахождения длин двух других сторон нужно выполнить 2 действия:
a = 15*sin30 = 15*0.5 = 7.5 см
b = 15*cos30 = (15*√3)/2 = 13 см (приблизительно)
3
Самый нетривиальный способ найти длину стороны прямоугольного треугольника - это выразить ее из периметра данной фигуры:
P = a + b + c, где P - периметр прямоугольного треугольника. Из этого выражения легко выразить длину любой из сторон прямоугольного треугольника.

Совет 5: Как найти угол прямоугольного треугольника, зная все стороны

Знания всех трех сторон в прямоугольном треугольнике более чем достаточно для вычисления любого из его углов. Этой информации настолько много, что у вас даже появляется возможность выбрать, которые из сторон задействовать в расчетах, чтобы использовать наиболее вам симпатичную тригонометрическую функцию.
Инструкция
1
Если вы предпочтете иметь дело с арксинусом, используйте в расчете длину гипотенузы (С) - самой длинной стороны - и того катета (А), который лежит напротив искомого угла (α). Деление длины этого катета на длину гипотенузы даст величину синуса искомого угла, а обратная синусу функция - арксинус - из полученного значения восстановит величину угла в градусах. Поэтому используйте в вычислениях такую формулу: α = arcsin(A/C).
2
Для замены арксинуса арккосинусом задействуйте в вычислениях длины тех сторон, которые и образуют искомый угол (α). Одна из них будет гипотенузой (С), а другая - катетом (В). По определению косинус - это отношение длины прилегающего к углу катета к длине гипотенузы, а восстановлением угла из значения косинуса занимается функция арккосинус. Используйте такую формулу расчетов: α = arccos(B/C).
3
Можно использовать в расчетах и арктангенс. Для этого вам нужны длины двух коротких сторон - катетов. Тангенс острого угла (α) в прямоугольном треугольнике определяется отношением длины катета (А), лежащего напротив него, к длине прилежащего катета (В). По аналогии с описанными выше вариантами используйте такую формулу: α = arctg(А/B).
4
Эти же стороны - катеты А и В - нужны и при использовании арккотангенса в формуле вычисления острого угла (α) прямоугольного треугольника. Для получения значения котангенса достаточно поменять местами делимое и делитель в определении тангенса, поэтому используйте такую формулу: α = arcctg(В/А).
5
Если есть желание использовать еще более экзотические тригонометрические функции, обратите внимание, например, на арксеканс. Вам понадобится та же пара сторон, что и во втором шаге - прилегающий к искомому углу (α) катет (В) и гипотенуза (С). Но делимое и делитель надо поменять местами, поэтому формула в окончательном виде будет иметь такой вид: α = arcsec(С/В).
6
Пару секансу составляет функция косеканс, определяемая отношением длины гипотенузы (С) к противолежащему искомому углу (α) катету (А). Чтобы задействовать в расчетах арккосеканс используйте такую формулу: α = arccsc(С/А).

Совет 6: Как называются стороны прямоугольного треугольника

Удивительными свойствами прямоугольных треугольников люди заинтересовались еще во времена античности. Многие из этих свойств были описаны древнегреческим ученым Пифагором. В Древней Греции появились и названия сторон прямоугольного треугольника.

Какой треугольник называют прямоугольным?


Есть несколько типов треугольников. У одних все углы острые, у других – один тупой и два острых, у третьих – два острых и прямой. По этому признаку каждый тип этих геометрических фигур и получил название: остроугольные, тупоугольные и прямоугольные. То есть, прямоугольным называется такой треугольник, у которого один из углов составляет 90°. Есть и другое определение, схожее с первым. Прямоугольным называется треугольник, у которого две стороны перпендикулярны.

Гипотенуза и катеты


У остроугольного и тупоугольного треугольников отрезки, соединяющие вершины углов, называются просто сторонами. У треугольника прямоугольного стороны имеют и другие названия. Те, которые прилегают к прямому углу, называются катетами. Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой. В переводе с греческого слово «гипотенуза» означает «натянутая», а «катет» - «перпендикуляр».

Соотношения между гипотенузой и катетами


Стороны прямоугольного треугольника связаны между собой определенными соотношениями, которые значительно облегчают вычисления. Например, зная размеры катетов, можно вычислить длину гипотенузы. Это соотношение по имени открывшего его математика получило название теоремы Пифагора и выглядит оно так:

c2=a2+b2, где с – гипотенуза, a и b – катеты. То есть, гипотенуза будет равна квадратному корню из суммы квадратов катетов. Чтобы найти любой из катетов, достаточно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат другого катета и извлечь из полученной разности квадратный корень.

Прилежащий и противолежащий катет


Начертите прямоугольный треугольник АСВ. Буквой С принято обозначать вершину прямого угла, А и В – вершины острых углов. Стороны, противолежащие каждому углу, удобно назвать а, b и с, по названиям лежащих напротив них углов. Рассмотрите угол А. Катет а для него будет противолежащим, катет b – прилежащим. Отношение противолежащего катета к гипотенузе называется синусом. Вычислить эту тригонометрическую функцию можно по формуле: sinA=a/c. Отношение прилежащего катета к гипотенузе называется косинусом. Вычисляется он по формуле: cosA=b/c.

Таким образом, зная угол и одну из сторон, можно по этим формулам вычислить другую сторону. Тригонометрическими соотношениями связаны и оба катета. Отношение противолежащего к прилежащему называется тангенсом, а прилежащего к противолежащему – котангенсом. Выразить эти соотношения можно формулами tgA=a/b или ctgA=b/a.
Видео по теме
Обратите внимание
Квадратные корни извлекаются с положительным знаком, т.к. длина не может быть отрицательной величиной. Это кажется очевидным, но данная ошибка очень распространена, если решать задачу на автомате.
Полезный совет
Для нахождения катетов прямоугольного треугольника удобно использовать формулы приведения: sin β = sin (90° - α) = cos α; cos β = cos (90° - α) = sin α.
Источники:
  • Таблицы Брадиса для нахождения величин тригонометрических функций
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500