Совет 1: Как исследовать непрерывность функции

Непрерывность - одно из основных свойств функций. Решение о том, непрерывна данная функция или нет, позволяет судить о других свойствах исследуемой функции. Поэтому так важно исследовать функции на непрерывность. В данной статье рассмотрены основные приемы исследования функций на непрерывность.
Как исследовать непрерывность функции
Инструкция
1
Итак, начнем с определения непрерывности. Оно гласит следующее:
Функция f (x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в этой точке, если
lim f(x)=f(a)

x->a
2
Разберемся, что это значит. Во-первых, если функция не определена в данной точке, то смысла говорить о непрерывности нет. Функция разрывна и точка. Например, всем известная f(x)=1/x не существует в нуле (делить на нуль ни в коем случае нельзя), вот и разрыв. Это же коснется и более сложных функций, в которые нельзя подставить некоторые значения.
3
Во-вторых, есть другой вариант. Если мы (или кто-то для нас) сочинил функцию из кусочков других функций. Например, такую:
f(x)=x^2-4, x<-1

3x, -1<=x<3

5, x>=3
В таком случае нам надо понять, она непрерывна или разрывна. Как это сделать?
4
Это вариант более сложный, так как требуется установить непрерывность на всей области определения функции. В данном случае областью определения функции является вся числовая ось. То есть от минус-бесконечности до плюс-бесконечности.
Для начала воспользуемся определением непрерывности на промежутке. Вот оно:
Функцию f (x) называют непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a; b) и, кроме того, непрерывна справа в точке a и слева в точке b.
5
Итак, чтобы определить непрерывность нашей сложной функции, надо ответить для себя на несколько вопросов:
1. Определены ли взятые функции на заданных интервалах?
В нашем случае ответ положительный.
Значит, точки разрыва могут быть лишь в точках смены функции. То есть в точках -1 и 3.
6
2. Теперь нужно исследовать непрерывность функции в этих точках. Мы уже знаем, как это делается.
Сперва нужно найти значения функции в этих точках: f(-1)=-3, f(3)=5 - функция определена в этих точках.
Теперь нужно найти правый и левый пределы для этих точек.
lim f(-1)=-3 (предел слева существует)

x->-1-
lim f(-1)=-3 (предел справа существует)

x->-1+
Как видим, правый и левый пределы для точки -1 совпадают. Значит, функция непрерывна в точке -1.
7
Проделаем то же самое для точки 3.
lim f(3)=9 (предел существует)

x->3-
lim f(3)=5 (предел существует)

x->3+
А здесь пределы не совпадают. Это означает, что в точке 3 функция разрывна.
Вот и все исследование. Желаем успехов!

Совет 2: Как исследовать функцию

Исследованием функции называют специальное задание в школьном курсе математики, в ходе которого выявляются основные параметры функции и строится ее график. Ранее целью данного исследования было построение графика, сегодня же эта задача решается с помощью специализированных компьютерных программ. Но все же не лишним будет ознакомиться с общей схемой исследования функции.
Как исследовать функцию
Инструкция
1
Находится область определения функции, т.е. диапазон значений x, при которых функция принимает какое либо значение.
2
Определяются области непрерывности и точки разрыва. При этом обычно области непрерывности совпадают с областью определения функции, необходимо исследовать левые и правые приделы изолированных точек.
3
Проверяется наличие вертикальных асимптот. Если функция имеет разрывы, то необходимо исследовать концы соответствующих промежутков.
4
Четность и нечетность функции проверяется по определению. Функция y = f(x) называется четной, если для любого x из области определения верно равенство f(-x) = f(x).
5
Функция проверяется на периодичность. Для этого x меняется на x + T и ищется наименьшее положительное число T. Если такое число существует, то функция периодична, а число T – период функции.
6
Функция проверяется на монотонность, находятся точки экстремума. При этом производную функции приравнивают к нулю, найденные при этом точки, выставляют на числовой прямой и добавляют к ним точки, в которых производная не определена. Знаки производной на получившихся промежутках определяют области монотонности, а точки перехода между разными областями являются экстремумами функции.
7
Исследуется выпуклость функции, находятся точки перегиба. Исследование производится аналогично исследованию на монотонность, но при этом рассматривается вторая производная.
8
Находятся точки пересечения с осями OX и OY, при этом y = f(0) – пересечение с осью OY, f(x) = 0 – пересечение с осью OX.
9
Определяются пределы на концах области определения.
10
Строится график функции.
11
По графику определяется область значений функции и ограниченность функции.
Полезный совет
Всегда во время анализа на непрерывность необходимо помнить, что большинство известных нам функций непрерывны. К ним относятся линейная, квадратичная, показательная и тригонометрические функции.
Источники:
  • исследовать на непрерывность функции
ПОИСК
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500