Совет 1: Как найти биссектрису равнобедренного треугольника

У равнобедренного треугольника две стороны равны, углы при его основании тоже будут равны. Поэтому биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, будут равны друг другу. Биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, будет одновременно медианой и высотой этого треугольника.
Инструкция
1
Пусть биссектриса AE проведена к основанию BC равнобедренного треугольника ABC. Треугольник AEB будет прямоугольным, так как биссектриса AE будет одновременно являться его высотой. Боковая сторона AB будет гипотенузой этого треугольника, а BE и AE - его катетами.По теореме Пифагора (AB^2) = (BE^2)+(AE^2). Тогда (BE^2) = sqrt((AB^2)-(AE^2)). Так как AE и медиана треугольника ABC, то BE = BC/2. Следовательно, (BE^2) = sqrt((AB^2)-((BC^2)/4)).Если задан угол при основании ABC, то из прямоугольного треугольника биссектриса AE равна AE = AB/sin(ABC). Угол BAE = BAC/2, так как AE - биссектриса. Отсюда, AE = AB/cos(BAC/2).
2
Пусть теперь проведена высота BK к боковой стороне AC. Эта высота уже не является ни медианой, ни биссектрисой треугольника. Для вычисления ее длины существует формула Стюарта.Периметр треугольника - это сумма длин всех его сторон P = AB+BC+AC. А его полупериметр равен половине суммы длин всех его сторон: P = (AB+BC+AC)/2 = (a+b+c)/2, где BC = a, AC = b, AB = c.Формула Стюарта для длины биссектрисы, проведенной к стороне c (то есть, AB), будет иметь вид: l = sqrt(4abp(p-c))/(a+b).
3
Из формулы Стюарта видно, что биссектриса, проведенная к стороне b (AC), будет иметь такую же длину, так как b = c.

Совет 2: Биссектриса треугольника и ее свойства

Биссектриса треугольника обладает рядом свойств. Если правильно их использовать, можно решать задачи разного уровня сложности. Но даже имея данные обо всех трех биссектрисах, нельзя построить треугольник.

Что такое биссектриса



Изучение свойств треугольников и решение задач, связанных с ними – интересный процесс. Он позволяет развивать одновременно и логику, и пространственное мышление. Одной из важных составляющих треугольника является биссектриса. Биссектриса является отрезком, который выходит из угла треугольника и делит его на равные части.

Во многих задачах по геометрии в условиях есть данные о биссектрисе, при этом требуется найти значение угла либо длину противоположной стороны и так далее. В других задачах необходимо найти параметры самой биссектрисы. Чтобы определить правильный ответ любой из задач, связанных с биссектрисой, нужно знать ее свойства.

Свойства биссектрисы



Во-первых, биссектриса – это геометрическое место точек, которые удалены на равные расстояния от сторон, прилегающих к углу.

Во-вторых, биссектриса треугольника делит противоположную углу сторону на отрезки, которые будут пропорциональны прилегающим сторонам. К примеру, есть треугольник АБС, в нем из угла Б выходит биссектриса, которая соединяет вершину угла с точкой М на прилегающей стороне АС. После проведения анализа, получим формулу: АМ/МС=АБ/БС.

В-третьих, точка, являющаяся пересечением биссектрис из всех углов треугольника, выступает как центр окружности, вписанной в данный треугольник.

В-четвертых, если две биссектрисы одного треугольника равны, значит, данный треугольник является равнобедренным.

В-пятых, если есть данные обо всех трех биссектрисах, то нельзя выполнить построение треугольника, даже если воспользоваться циркулем.

Нередко для решения задачи биссектриса неизвестна, необходимо найти ее длину. Чтобы решить задачу, нужно знать угол, из которого она выходит, а также длины сторон, прилегающих к нему. В таком случае длина биссектрисы равняется удвоенному произведению прилегающих сторон на косинус угла, поделенное пополам на сумму длин прилегающих сторон.

Прямоугольный треугольник



В прямоугольном треугольнике биссектриса обладает теми же свойствами, что и в обычном. Но добавляется дополнительное свойство – биссектриса прямого угла образует при пересечении угол в 45 градусов. Более того, в равнобедренном прямоугольном треугольнике биссектриса, которая опущена на основание, будет также выступать как высота и медиана.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500