Совет 1: Как считать пределы

В учебниках по математическому анализу значительное внимание уделяется приемам вычисления пределов функций и последовательностей. Существуют готовые правила и методы, применяя которые, можно с легкостью решать даже относительно сложные задачи на пределы.
Инструкция
1
В математическом анализе существуют понятия пределов последовательностей и функций. Когда требуется найти предел последовательности, это записывают следующим образом: lim xn=a. В такой последовательности последовательности xn стремится к a, а n к бесконечности. Последовательность обычно представляют в виде ряда, например:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Последовательности подразделяются на возрастающие и убывающие. Например:
xn=n^2 - возрастающая последовательность
yn=1/n - убывающая последовательность
Так, например, предел последовательности xn=1/n^2 равен:
lim 1/n^2=0

x→∞
Данный предел равен нулю, поскольку n→∞, а последовательность 1/n^2 стремится к нулю.
2
Обычно переменная величина x стремится к конечному пределу a, причем, x постоянно приближается к a, а величина a постоянна. Это записывают следующим образом: limx =a, при этом, n также может стремиться как к нулю, так и к бесконечности. Существуют бесконечные функции, для них предел стремится к бесконечности. В других случаях, когда, например, функцией описывается замедление хода поезда, можно говорить о пределе, стремящемся к нулю.
У пределов имеется ряд свойств. Как правило, любая функция имеет только один предел. Это главное свойство предела. Другие их свойства перечислены ниже:
* Предел суммы равен сумме пределов:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Предел произведения равен произведению пределов:
lim(xy)=lim x*lim y
* Предел частного равен частному от пределов:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Постоянный множитель выносят за знак предела:
lim(Cx)=C lim x
Если дана функция 1 /x, в которой x →∞, ее предел равен нулю. Если же x→0, предел такой функции равен ∞.
Для тригонометрических функций имеются исключения из этих правил. Так как функция sin x всегда стремится к единице, когда приближается к нулю, для нее справедливо тождество:
lim sin x/x=1

x→0
3
В ряде задач встречаются функции, при вычислении пределов которых возникает неопределенность - ситуация, при которой предел невозможно вычислить. Единственным выходом из такой ситуации становится применение правила Лопиталя. Существует два вида неопределенностей:
* неопределенность вида 0/0
* неопределенность вида ∞/∞
К примеру, дан предел следующего вида: lim f(x)/l(x), причем, f(x0)=l(x0)=0. В таком случае, возникает неопределенность вида 0/0. Для решения такой задачи обе функции подвергают дифференцированию, после чего находят предел результата. Для неопределенностей вида 0/0 предел равен:
lim f(x)/l(x)=lim f'(x)/l'(x) (при x→0)
Это же правило справедливо и для неопределенностей типа ∞/∞. Но в этом случае справедливо следующее равенство: f(x)=l(x)=∞
С помощью правила Лопиталя можно находить значения любых пределов, в которых фигурируют неопределенности. Обязательное условие при

том - отсутствие ошибок при нахождении производных. Так, например, производная функции (x^2)' равна 2x. Отсюда можно сделать вывод, что:
f'(x)=nx^(n-1)

Совет 2: Как находить пределы функций

Расчет пределов функций — фундамент математического анализа, которому посвящено немало страниц в учебниках. Однако подчас не понятно не только определение, но и сама суть предела. Говоря простым языком, предел - это приближение одной переменной величины, которая зависит от другой, к какому-то конкретному единственному значению по мере изменения этой другой величины. Для успешного вычисления достаточно держать в уме простой алгоритм решения.
Инструкция
1
Подставьте предельную точку (стремящийся к какому-либо числу «х») в выражение после знака предела. Такой способ наиболее прост и экономит много времени, поскольку в результате получается однозначное число. Если же возникают неопределённости, то следует воспользоваться следующими пунктами.
2
Помните определение производной. Из него следует, что скорость изменения функции неразрывно связана с пределом. Следовательно, вычисляйте любой предел через производную по правилу Бернулли-Лопиталя: предел двух функций равен отношению их производных.
3
Сократите каждое слагаемое на старшую степень переменной, стоящей в знаменателе. В результате вычислений у вас получится или бесконечность (если старшая степень знаменателя больше такой же степени числителя), или ноль (наоборот), или некоторое число.
4
Попытайтесь разложить дробь на множители. Правило эффективно при неопределенности вида 0/0.
5
Умножьте числитель и знаменатель дроби на сопряжённое выражение, в особенности если после «lim» есть корни, дающие неопределённость вида 0/0. В результате получится разность квадратов без иррациональности. Например, если в числителе стоит иррациональное выражение (2 корня), то нужно умножить на равное ему, с обратным знаком. Из знаменателя корни не уйдут, однако их можно будет посчитать, выполнив п.1.
Совет полезен?
При вычислениях помните, что любое число, делённое на бесконечность, есть бесконечно малая величина, которую при расчётах можно принять равной нулю.

Пользуйтесь теоремами о пределах для решения простейших задач, в особенности тригонометрических, но не забывайте просчитывать, к чему стремится выражение под знаком предела.

При затруднениях используйте онлайн-калькуляторы, которые можно легко найти в интернете.

Выносите постоянные множители (числа) за знак предела.
Источники:
  • Замечательные пределы
Полезный совет
Пример задачи на нахождение предела по правилу Лопиталя.

Дано следующее выражение:

lim(1-cosx)/x^2
x →0

Поскольку cosx=1, возникает неопределенность типа 0/0.

Первая производная функции равна:

{(1-cosx)/x^2}'=sinx/2x

lim sinx/2x=0/0
x →0

Из последнего выражения видно, что неопределенность возникла вновь, поэтому необходимо взять вторую производную этой функции:

{(sinx)/2x}'=cosx/2

Теперь предел равен:

lim cosx/2=1/2
x→0

Ответ: lim(1-cosx)/x^2=1/2
x→0
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500