Совет 1: Как находить область определения выражения

Область определения выражения - это множество значений, при которых данное выражение имеет смысл. Искать область определения лучше всего методом исключения - отбрасывая все значения, при которых выражение теряет математический смысл.
Инструкция
1
Первым этапом нахождения области определения выражения можно сделать исключение деления на ноль. Если в выражении присутствует знаменатель, который может обратиться в ноль, следует найти все значения, при которых он обращается в ноль, и исключить их.Пример: 1/x. Знаменатель обращается в ноль при x = 0. 0 не будет входить в область определения выражения.(x-2)/((x^2)-3x+2). Знаменатель обращается в ноль при x = 1 и x = 2. Эти значения не будут входить в область определения выражения.
2
В выражении могут входить также различные иррациональности. Если в выражения входят корни четных степеней, то подкоренные выражения должны быть неотрицательны.Примеры: 2+v(x-4). Отсюда, x?4 - область определения данного выражения. x^(1/4) - корень четвертой степени из x. Следовательно, x?0 - область определения данного выражения.
3
В выражениях, в которых присутствуют логарифмы, необходимо помнить, что основание логарифма a определено при a>0 за исключением a=1. Выражение под знаком логарифма должно быть больше нуля.
4
Если в выражении присутствуют функции арксинуса или арккосинуса, то область значений выражения, находящегося под знаком данной функции должна ограничиваться -1 слева и 1 справа. Отсюда и нужно находить область определения этого выражения.
5
В выражении могут фигурировать как деление, так и, например, квадратный корень. При нахождении области определения всего выражения необходимо учесть все моменты, которые могут привести к ограничению этой области. Исключив все неподходящие значения, нужно записать область определения. Область определения может принимать и любые действительные значения при отсутствии специфических точек.

Совет 2: Как находить область определения функции

До того, как проводить какие-то преобразования уравнения функции, надо найти область определения функции, так как в ходе преобразований и упрощений может быть потеряна информация о допустимых значениях аргумента.
Инструкция
1
Если в уравнении функции нет знаменателя, то ее областью определения будут все вещественные числа от минус бесконечности до плюс бесконечности. Например, y = x + 3, ее областью определения является вся числовая прямая.
2
Более сложным является случай, когда в уравнении функции есть знаменатель. Так как деление на ноль дает неопределенность значения функции, то аргументы функции, которые влекут за собой такое деление, исключают из области определения. Говорят, что в этих точках функция не определена. Чтобы определить такие значения x, надо приравнять знаменатель к нулю и решить получившееся уравнение. Тогда области определения функции будут принадлежать все значения аргумента, кроме тех, что обнуляют знаменатель.
Рассмотрим простой случай: y = 2/(x-3). Очевидно, что при x = 3, знаменатель равен нулю, а значит мы не можем определить y. Область определения этой функции, x - любое число, кроме 3.
3
Иногда в знаменателе содержится выражение, которое обращается в ноль в нескольких точках. Таковы, например, периодические тригонометрические функции. Например, y = 1 / sin x. Знаменатель sin x обращается в ноль при x = 0, π, -π, 2π, -2π и т.д. Таким образом, областью определения y = 1 / sin x, являются все x, кроме x = 2πn, где n - все целые числа.
Видео по теме

Совет 3: Как находить область определения

Функцией называется соответствие, которое каждому числу x из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y. Множество значений x называется областью определения функции. Т.е. это множество всех допустимых значений аргумента (x), при которых функция y=f(x) определена (существует).
Инструкция
1
Если в функции присутствует дробь, и знаменатель содержит переменную (х), то знаменатель дроби не должен быть равен нулю, т.к. иначе такая дробь не может существовать. Чтобы найти область определения такой дроби, нужно весь знаменатель приравнять к нулю. Решив полученное уравнение, вы найдёте те значения переменной, которые необходимо исключить из области определения.
2
Если есть корень чётной степени, очевидно, что подкоренное выражение может быть только положительным числом. Далее, решаем неравенство, в котором подкоренное выражение меньше нуля. Полученные значения исключаем из области определения нашей функции.
3
Если есть логарифм. Область определения логарифма все числа, которые больше нуля. Т.е. чтобы найти значения переменной, не входящие в область определения, нужно составить и решить неравенство, в котором выражение под логарифмом меньше нуля.
4
Если в функции есть обратные тригонометрические функции, такие как арксинус и арккосинус. Они определены, только на промежутке [-1;1]. Следовательно, нужно проверить, при каких значениях переменной выражение, стоящее под этими функциями, попадает в этот промежуток.
5
В функции могут присутствовать сразу несколько из перечисленных вариантов, в этом случае необходимо рассмотреть их все и областью определения функции будет комбинация из всех результатов.
Видео по теме

Совет 4: Как найти область определения и область значения функции

Чтобы найти область определения и значения функции f, нужно определить два множества. Одно из них является совокупностью всех значений аргумента x, а другое состоит из соответствующих им объектов f(x).
Инструкция
1
На первом этапе любого алгоритма исследования математической функции следует найти область определения. Если этого не сделать, то все расчеты будут бесполезной тратой времени, поскольку на ее основе формируется область значений. Функция – это определенный закон, по которому элементы первого множества ставятся в соответствие другому.
2
Чтобы найти область определения функции, нужно рассмотреть ее выражение с точки зрения возможных ограничений. Это может быть присутствие дроби, логарифма, арифметического корня, степенной функции и т.д. Если таких элементов несколько, то для каждого из них составьте и решите свое неравенство, чтобы выявить критические точки. Если ни одного ограничения нет, то область определения представляет собой все числовое пространство (-∞; ∞).
3
Бывает шесть видов ограничений:

Степенная функция вида f^(k/n), где знаменатель степени – четное число. Выражение, стоящее под корнем, не может быть меньше нуля, следовательно, неравенство выглядит так: f ≥ 0.

Функция логарифма. По свойству выражение, стоящее под его знаком, может быть только строго положительным: f > 0.

Дробь f/g, где g – тоже функция. Очевидно, что g ≠ 0.

tg и ctg: x ≠ π/2 + π•k, поскольку в этих точках эти тригонометрические функции не существуют (cos или sin, стоящие в знаменателе, обращаются в ноль).

arcsin и arccos: -1 ≤ f ≤ 1. Ограничение накладывается областью значений этих функций.

Степенная функция со степенью в виде другой функции того же аргумента: f^g. Ограничение представляется в виде неравенства f>0.
4
Чтобы найти область значения функции, подставьте в ее выражение все точки из области определения путем перебора одного за другим. Существует понятие множества значений функции на интервале. Эти два термина следует различать, за исключением случая, когда заданный интервал совпадает с областью определения. В противном случае это множество является подмножеством области значений.
Обратите внимание
Область допустимых значений функции - это область ее определения, не путайте этот термин с областью значений.
Источники:
  • как найти область определения функции с логарифмом

Совет 5: Как найти область определения функции

Чтобы найти область определения функции, нужно вычислить границы одного или нескольких интервалов, содержащих точки, в которых она имеет смысл. Это первое действие при решении задач на математический анализ поведения функций.
Инструкция
1
Задание любой функции – это указание правила, по которому связаны друг с другом элементы двух множеств. Первое называется областью определения функции. Это такие допустимые значения ее аргумента, которые соответствуют определенным элементам второго множества, области значений функции.
2
Считается, что функция задана, если известны оба этих множества. Иногда областью определения является бесконечный интервал (-∞; +∞), но в большинстве случае присутствуют некоторые ограничения, которые накладываются составляющими элементами выражения функции. Например, в ней могут присутствовать такие математические понятия, как корень, степень, логарифмическая или тригонометрическая подфункция и пр.
3
Алгоритм нахождения области определения функции состоит из трех этапов: определение типа или типов ограничений, составление и решение соответствующих неравенств, запись интервала или интервалов допустимых значений аргумента.
4
Существует шесть типов подфункций, присутствие которых в основном выражении может наложить ограничение на область ее определения. Это подкоренное выражение, степенная функция, логарифм, выражение под чертой дроби и некоторые тригонометрические функции.
5
Запишите неравенства согласно выявленным ограничениям:- функция под знаком корня, т.е. в дробной степени с четным числом в знаменателе: f(х) ≥ 0;- функция в степени показателя другой функции того же аргумента: f(х) > 0;- логарифм log_а f(х): f(х) > 0;- отношение двух функций f(х)/g(х): g(х) ≠ 0;- tg f(х) и сtg f(х): f(х) ≠ π•k + π/2;- аrсsin f(х) и arccos f(х): -1 ≤ f(х) ≤ 1.
6
Решите неравенства и запишите интервал, закрытый или открытый в зависимости от того, являются ли его границы выколотыми точками или принадлежат области определения. Об этом говорят обозначения: квадратная скобка означает вхождение в интервал, а круглая - исключение. Например, если область задана интервалом (1; 3], то для ее элементов выполняется двойное неравенство 1 < х ≤ 3.
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500