Как решать арифметические прогрессии

Арифметическая прогрессия - это такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом d (шагом или разностью арифметической прогрессии). Чаще всего в задачах с арифметическими прогрессиями ставятся такие вопросы, как нахождение первого члена арифметической прогрессии, n-го члена, нахождение разности арифметической прогрессии, суммы всех членов арифметической прогрессии. Рассмотрим каждый из этих вопросов более подробно.

Вам понадобится

• Умение выполнять основные математические действия.

Инструкция

1. Из определения арифметической прогрессии следует следующая связь соседних членов арифметической прогрессии - An+1=An+d, например, A5=6, а d=2, то A6=A5+d=6+2=8.
2. Если известен первый член (A1) и разность (d) арифметической прогрессии, то можно найти любой ее член, использую формулу n-го члена арифметической прогрессии (An): An=A1+d(n-1). Например, пусть A1=2, d=5. Найдем, A5 и A10. A5=A1+d(5-1)=2+5(5-1)=2+5*4=2+20=22, а A10=A1+d(10-1)=2+5(10-1)=2+5*9=2+45=47.
3. Используя предыдущую формулу можно найти первый член арифметической прогрессии. A1 тогда будет находиться по формуле A1=An-d(n-1), то есть если предположить, что A6=27, а d=3, A1=27-3(6-1)=27-3*5=27-15=12.
4. Чтобы найти разность (шаг) арифметической прогрессии, необходимо знать первый и n-ый член арифметической прогрессии, зная их, разность арифметической прогрессии находится по формуле d=(An-A1)/(n-1). Например, A7=46, A1=4, тогда d=(46-4)/(7-1)=42/6=7. Если d>0, то прогрессия называется возрастающей, если d<0 - убывающей.
5. Сумму первых n членов арифметической прогрессии можно найти по следующей формуле. Sn=(A1+An)n/2, где Sn - сумма n членов арифметической прогрессии, A1, An - 1-ый и n-ый член арифметической прогрессии соответственно. Воспользуемся данными из предыдущего примера, тогда Sn=(4+46)7/2=50*7/2=350/2=175.
6. Если же n-ый член арифметической прогрессии неизвестен, но зато известен шаг арифметической прогрессии и номер n-го члена, то, чтобы найти сумму арифметической прогрессии, можно воспользоваться формулой Sn=(2A1+(n-1)dn)/2. Например, A1=5, n=15, d=3, тогда Sn=(2*5+(15-1)*3*15)/2=(10+14*45)/2=(10+630)/2=640/2=320.