Совет 1: Как найти производную от заданной функции

Задача взятия производной от заданной функции является базовой как для учащихся средних школ, так и для студентов высших учебных заведений. Невозможно в полной мере освоить курс математики без усвоения понятия производной. Но не стоит пугаться раньше времени - любую производную можно вычислить используя простейшие алгоритмы дифференцирования и зная производные элементарных функций.
Вам понадобится
  • Таблица производных элементарных функций, правила дифференцирования
Инструкция
1
По определению производной функции является отношение приращения функции к приращению аргумента за бесконечно малый промежуток времени. Таким образом, производная показывает зависимость роста функции от изменения аргумента.
2
Для того чтобы найти производную элементарной функции достаточно воспользоваться таблицей производных. Полная таблица производных элементарных функций приведена на рисунке.
Таблица производных элементарных функций
3
Для того, чтобы найти производную сумму (разности) двух элементарных функций мы используем правило дифференцирования суммы: производная суммы функций равна сумме их производных. Это записывается как:

(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x). Здесь символом (') показывается взятие производной от функции. А далее задача сводится к взятию производных двух элементарных функций, описанная на предыдущем шаге.
4
Для того чтобы найти производную произведения двух функций, необходимо воспользоваться еще одним правилом дифференцирования:

(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x), то есть производная произведения равна сумме произведения производной первого множителя на второй и первого множителя на производную второго. Найти производную частного можно по формуле, представленной на картинке. Она очень похожа на правило взятия производной произведения, только вместо суммы в числителе стоит разность, и добавляется знаменатель, в котором находится квадрат знаменателя заданной функции.
Производная частного
5
Взятие производной сложной функции - наиболее трудная задача при дифференцировании (сложной функцией называется функция, аргументом которой является какая-либо зависимость). Но и она решается по довольно простому алгоритму. Сначала мы берем производную по сложному аргументу, считая его простым. Затем мы умножаем полученное выражение на производную сложного аргумента. Так мы можем найти производную функции с любой степенью вложенности.

Совет 2: Как найти производную функции

Методы дифференциального исчисления используются при исследовании характера поведения функции в математическом анализе. Однако это не единственная сфера их применения, часто требуется найти производную, чтобы рассчитать предельные величины в экономике, вычислить скорость или ускорение в физике.
Инструкция
1
Производная функции в точке показывает быстроту ее изменения и вычисляется через теорию пределов. Поэтому она может иметь как конечное, так и бесконечное значение. Во втором случае говорят, что исходная функция не дифференцируема в этой точке. Существуют правила, по которым можно найти производную простейшей, элементарной и сложной функции.
2
Запомните таблицу вычисления производных простейших и некоторых элементарных функций:- С’ = 0;- х’ = 1;- (С•х)’ = С•х’ = С;- (sin х)’ = соs х; (соs х)’ = - sin х;- (tv х)’ = 1/соs² х; (сtv х)’ = -1/sin² х;- b^х = b^х•ln b;- lоv_b х = 1/(х•ln b).
3
Применяйте общие правила дифференцирования.Производная степенной функции вида х^n, где n>1, равна n•х^(n-1). Примеры: (х^4)’ = 4•х³; (5•х³)’ = 5•3•х² = 15•х².
4
Производная суммы функций находится путем сложения их отдельных производных: (Σfi(х))’ = Σfi’(х). Примеры: (sin х + соs х)’ = соs х – sin х; (х^5 + 6•х^4 – 2•х² + 14•х)’ = 5•х^4 + 24•х³ – 4•х + 14. При дифференцировании многочлена его степень уменьшается на 1.
5
Производная произведения, где оба множителя являются функциями, равна сумме двух элементов. В первом случае это производная первой функции и исходное выражение второй, во втором случае – наоборот: (f•v)’ = f’•v + f•v’.Пример: (5^х•lоv_5 х)’ = (5^х)’•lоv_5 х + 5^х•(lоv_5 х)’ = 5•х•ln 5•lоv_5 х + 5^х/(х•ln 5).
6
Дробь, где числитель и знаменатель – функции, дифференцируется по более сложной формуле: (f/v)’ = (f’•v – f•v’)/v². Пример: ((х•sin х)/(5•х² + 3))’.Решение.К этому выражению применимы сразу два правила дифференцирования: суммы и произведения функций одного и того же аргумента:((х•sin х)/(5•х² + 3))’ = ((х•sin х)’•(5•х² + 3) – х•sin х•(5•х² + 3)’)/(5•х² + 3)² =((sin х + х•соs х)•(5•х² + 3) – х•sin х•10•х)/(5•х² + 3)².
7
Раскройте скобки и приведите подобные:х•соs х – х•sin х•(5•х - 3)/(5•х² + 3)².
8
Чтобы найти производную сложной функции вида f(v(х)), продифференцируйте старшую функцию f, приняв v за простой аргумент. Затем умножьте результат на производную v’(х). Например: (tv (2•х² + 3))’ = (tv х)’•(2•х² + 3)’ = 1/соs² (2•х² + 3)•4•х = 4•х/соs² (2•х² + 3).
Источники:
  • Главный математический портал России
  • найти производные заданных функций
Поиск
ВАЖНО! Проблемы сердца сильно "помолодели". Потратьте 3 минуты на просмотр ролика. Защитите себя и близких от страшных проблем.
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500