Совет 1: Как найти медиану треугольника по его сторонам

Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противолежащей стороны. Зная длины всех трех сторон треугольника, можно найти его медианы. В частных случаях равнобедренного и равностороннего треугольника, очевидно, достаточно знания, соответственно, двух (не равных друг другу) и одной стороны треугольника.
Вам понадобится
  • Линейка
Инструкция
1
Рассмотрим самый общий случай треугольника ABC с тремя не равными друг другу сторонами. Длину медианы AE этого треугольника можно вычислить по формуле: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Остальные медианы находятся абсолютно аналогично. Эта формула выводится через теорему Стюарта, либо через достроение треугольника до параллелограмма.
2
Если треугольник ABC - равнобедренный и AB = AC, то медиана AE будет являться одновременно и высотой этого треугольника. Следовательно, треугольник BEA будет прямоугольным. По теореме Пифагора, АЕ = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Из общей формулы длины медианы треугольника, для медиан BO и СP справедливо: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.
3
Если треугольник ABC - равносторонний, то, очевидно, что все его медианы равны друг другу. Так как угол при вершине равностороннего треугольника равен 60 градусам, то AE = BO = CP = a*sqrt(3)/2, где a = AB = AC = BC - длина стороны равностороннего треугольника.

Совет 2: Как найти медиану треугольника

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы пересекаются в одной точке всегда внутри треугольника. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1.
Инструкция
1
Медиану можно найти используя теорему Стюарта. Согласно которой, квадрат медианы равен четверти суммы удвоенных квадратов сторон минус квадрат стороны, к которой проведена медиана.
mc^2 = (2a^2 + 2b^2 - c^2)/4,
где
a, b, c - стороны треугольника.
mc - медиана к стороне с;
2
Задача по нахождению медианы может быть решена через дополнительные построения треугольника до параллелограмма и решение через теорему о диагоналях параллелограмма.Продлим стороны треугольника и медиану, достроив их до параллелограмма. Таким образом, медиана треугольника будет равна половине диагонали получившегося параллелограмма, две стороны треугольника - его боковым сторонам (a, b), а третья сторона треугольника, к которой была проведена медиана, является второй диагональю получившегося параллелограмма. Согласно теореме, сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.
2*(a^2 + b^2) = d1^2 + d2^2,
где
d1, d2 - диагонали получившегося параллелограмма;
отсюда:
d1 = 0.5*v(2*(a^2 + b^2) - d2^2)
Треугольник и дополнительные построения
Источники:
  • Медианы и бессектрисы треугольника
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500