Совет 1: Как найти радиус кривизны траектории

При рассмотрении движения тел используется ряд характеризующих величин, например тангенциальное и нормальное (центростремительное) ускорение, скорость, а также кривизна траектории. Радиус кривизны – геометрическое понятие, обозначающее радиус окружности R, по которой движется тело. Этот параметр можно найти по соответствующим формулам с помощью заданной траектории движения.
Инструкция
1
Наиболее часто встречаются задачи на определение радиуса кривизны траектории полета брошенного тела в заданный промежуток времени. Траектория движения в данном случае описывается уравнениями на координатных осях: х = f(t), y = f(t), где t – время, в момент которого требуется найти радиус. Его вычисление будет основываться на применении формулы аn = V²/R. Здесь радиус R выявляется из отношения нормального ускорения аn и мгновенной скорости V движения тела. Узнав данные величины, можно легко найти искомую компоненту R.
2
Вычислите проекции скорости тела на осях (ОХ, ОY). Математический смысл скорости – это первая производная от уравнения движения. Поэтому они легко находятся взятием производной от заданных уравнений: Vx = x', Vy = y'. При рассмотрении геометрического отображения данных проекций в координатной системе видно, что они являются катетами прямоугольного треугольника. Причем гипотенуза в нем – искомая мгновенная скорость. Исходя из этого, вычислите величину мгновенной скорости V по теореме Пифагора: V = √( Vx² + Vy²). Подставляя в выражение известное значение времени, найдите числовой показатель V.
3
Модуль нормального ускорения также легко определить, рассмотрев другой прямоугольный треугольник, образуемый модулем полного ускорения а и касательного ускорения тела ак. Причем здесь нормальное ускорение является катетом и вычисляется так: аn = √( а² - ак²). Для нахождения касательного ускорения продифференцируйте по времени уравнение мгновенной скорости движения: ак = |dV/dt|. Полное же ускорение вычислите по его проекциям на оси, аналогично нахождению мгновенной скорости. Только для этого возьмите от заданных уравнений движения производные второго порядка: ах = х'', аy = y''. Модуль ускорения а = √( ах2 + аy2). Подставляя все найденные величины, определите числовое значение нормального ускорения аn = √( а² - ак²).
4
Выразите из формулы аn = V²/R искомую переменную радиуса кривизны траектории: R = V²/ аn. Подставьте числовые значения скорости и ускорения, вычислите радиус.

Совет 2: Как найти радиус кривизны

Кривизна́ – понятие, заимствованное из дифференциальной геометрии. Оно являет собой собирательное название целого ряда количественных характеристик (векторных, скалярных, тензорных). Кривизна указывает на отклонение геометрического «объекта», которым может быть и поверхность, и кривая, и риманово пространство, от других известных «плоских» объектов (плоскость, прямая, евклидово пространство и т. д.).
Инструкция
1
Обычно кривизну определяют в отдельности для каждой искомой точки на заданном «объекте» и обозначают ее как значение второго порядка дифференциального выражения. Для объектов имеющих пониженную гладкость кривизну можно определить и в интегральном смысле. По общему правилу, если во всех точках кривизны тождественное обращение делается в нуль, то из этого следует локальное совпадение данного изучаемого «объекта» с «плоским» объектом.
2
Допустим, что вам надо сделать плосковыпуклую линзу. Вы знаете только , что оптическая сила равна 5 дптр. Как найти радиус кривизны выпуклой поверхности данной линзы.Вспомните равенство:
D = 1/f
D – это оптическая сила (линзы), f – это фокусное расстояниеЗапишите равенство:
1/f = (n-1) * (1/r1+1/r2)
n – это коэффициент преломления (данного типа материала)
r1 – радиус линзы с одной ее стороны
r2 – с другой стороны
3
Упростите выражение: так как линза плосковыпуклая, то ее радиус с одной из сторон будет стремиться к бесконечности, значит 1, деленная на бесконечность, будет стремиться к нулю. Вы должны получить такое упрощенное выражение: 1/f = (n-1) * 1/r2
4
Поскольку вы знаете оптическую силу линзы, то узнайте фокусное расстояние:
D = 1/f
1/f = 5 дптр
f = 1/5 дптр
f = 0,2 м
5
Учитывая задание, линзу сделайте из стекла. Помните, что у стекла коэффициент преломления равен 1,5, следовательно, выражение у вас должно выглядеть так:
(1,5 – 1) * 1/r2 = 0,2 м
0,5 * 1/r2 = 0,2 м
6
Поделите все части данного выражения на 0,5. Вы должны получить:
1/r2 = 0,4 м
r2 = 1/0,4 м
r2 = 2,5 мЗапишите результат :D. Вы получите у плосковыпуклой линзы радиус кривизны 2,5 метра.
Видео по теме
Обратите внимание
Определить, линзы какого радиуса кривизны вам нужны, может врач офтальмолог, произведя необходимые замеры. Это необходимо, чтобы подобрать соответствующие контактные линзы. Существуют контактные линзы, радиус кривизны которых непрерывно увеличивается от центра к краю – линзы, центральная часть задней поверхности которых имеет несферическую форму.
Совет полезен?
Базовая кривизна - это кривизна центральной части задней поверхности контактной линзы. У большинства контактных линз эта часть имеет сферическую форму, которую характеризуют радиусом базовой кривизны. В медицинском центре или клинике врач офтальмолог после проведения специальных замеров (например, при помощи авторефкератометра), определит базовую кривизну Ваших глаз и выпишет Вам рецепт.
Источники:
  • радиус кривизны поверхности линзы

Совет 3: Как найти радиус

Если для многоугольника удается построить вписанную и описанную окружности, то площадь этого многоугольника меньше площади описанной окружности, но больше площади вписанной окружности. Для некоторых многоугольников известны формулы для нахождения радиуса вписанной и описанной окружностей.
Инструкция
1
Вписанной в многоугольник называется окружность, касающаяся всех сторон многоугольника. Для треугольника формула радиуса вписанной окружности: r = ((p-a)(p-b)(p-c)/p)^1/2, где p - полупериметр; a, b, c - стороны треугольника. Для правильного треугольника формула упрощается: r = a/(2*3^1/2), а - сторона треугольника.
2
Описанной вокруг многоугольника называется такая окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Для треугольника радиус описанной окружности находится по формуле: R = abc/(4(p(p-a)(p-b)(p-c))^1/2), где p - полупериметр; a, b, c - стороны треугольника. Для правильного треугольника формула проще: R = a/3^1/2.
3
Для многоугольников не всегда возможно выяснить соотношение радиусов вписанных и описанных окружностей и длин его сторон. Чаще ограничиваются построением таких окружностей около многоугольника, а затем физического измерения радиуса окружностей с помощью измерительных приборов или векторного пространства.
Для построения описанной окружности выпуклого многоугольника строят биссектрисы двух его углов, на их пересечении лежит центр описанной окружности. Радиусом будет расстояние от точки пересечения биссектрис до вершины любого угла многоугольника. Центр вписанной окружности лежит на пересечении перпендикуляров, построенных вовнутрь многоугольника из центров сторон (эти перпендикуляры называются срединными). Достаточно построить два таких перпендикуляра. Радиус вписанной окружности равен расстоянию от точки пересечения срединных перпендикуляров до стороны многоугольника.
Видео по теме
Обратите внимание
В произвольно заданный многоугольник нельзя вписать окружность и описать окружность вокруг него.
Совет полезен?
В четырехугольник можно вписать окружность, если a+c = b+d, где a, b, с, d - стороны четырехугольника по порядку. Вокруг четырехугольника можно описать окружность, если противоположные его углы в сумме дают 180 градусов;

Для треугольника такие окружности всегда существуют.

Совет 4: Как узнать радиус окружности

Определение радиуса окружности является одной из основных задач математики. Существует множество формул для учета радиуса, достаточно лишь знать некоторые стандартные параметры. Графически радиус обозначается с помощью буквы R латинского алфавита.
Инструкция
1
Окружностью является замкнутая кривая. Точки, находящиеся в ее плоскости, равноудалены от центра, который лежит в одной плоскости вместе с кривой. Радиус - отрезок окружности, соединяющий ее центр с любой ее точкой. При его помощи можно узнать многие остальные параметры фигуры, поэтому он является ключевым параметром. Численным значением радиуса будет являться длина этого отрезка.
2
Также следует отличать радиус фигуры от ее диаметра (диаметр соединяет две максимально удаленные друг от друга точки). Чтобы воспользоваться математическим способом нахождения радиуса нужно знать длину или диаметр окружности. В первом случае формула будет выглядеть, как «R = L/2?», где L является известной длиной окружности, а число ? равно 3,14 и применяется для обозначения определенного иррационального числа.
3
В случае, если известен только диаметр, то формула будет выглядеть как «R = D/2».
4
Если длина окружности неизвестна, но есть данные о длине и высоте определенного сегмента, то формула будет иметь вид «R = (h^2*4 + L^2)/8*h», где h – высота сегмента (является расстоянием от середины хорды до самой выступающей части указанной дуги), а L – длина сегмента (которая не является длиной хорды).Хорда – отрезок линии, которая соединяет две точки окружности.
Обратите внимание
Следует различать понятия «окружность» и «круг». Круг является частью плоскости, которая, в свою очередь, ограничивается окружностью определенного радиуса. Чтобы найти радиус, необходимо знать площадь круга. В таком случае уравнение будет иметь вид «R = (S/π)^1/2», где S является площадью. Чтобы вычислить площадь, в свою очередь следует знать радиус («S = πr^2»).

Совет 5: Как найти мгновенную скорость

Чтобы найти мгновенную скорость при равномерном движении, поделите расстояние, пройденное телом, на время, за которое оно преодолевалось. При неравномерном движении, узнайте значение ускорения и рассчитывайте скорость в каждый момент времени. При свободном падении мгновенная скорость зависит от ускорения свободного падения и времени. Мгновенную скорость можно измерить спидометром или радаром.
Вам понадобится
  • Для определения мгновенной скорости возьмите радар, спидометр, секундомер, рулетку или дальномер, акселерометр.
Инструкция
1
Определение мгновенной скорости при равномерном движении Если тело движется равномерно, измерьте с помощью рулетки или дальномера отрезок пути в метрах, после чего поделите полученное значение на промежуток времени в секундах, за которое этот отрезок был пройден. Время измерьте секундомером. После этого найдите среднюю скорость, поделив длину пути на время его прохождения (v=S/t). А поскольку движение равномерное, то средняя скорость будет равна мгновенной скорости.
2
Определение мгновенной скорости при неравномерном движенииОсновным видом неравномерного движения является равноускоренное движение. С помощью акселерометра или любым другим способом измерьте значение ускорения. После этого, зная начальную скорость движения, прибавьте к ней произведение ускорения и времени, на протяжении которого тело находится в движении. Результатом будет значение мгновенной скорости в данный момент времени. (v=v0+a•t). При расчетах учтите, что если тело уменьшает свою скорость (тормозит), то значение ускорения будет отрицательным. В случае если движение начинается из состояния покоя, начальная скорость равна нулю.
3
Определение мгновенной скорости при свободном паденииДля определения мгновенной скорости свободно падающего тела нужно время падения умножить на ускорение свободного падения (9,81 м/с²), расчет произвести по формуле v= g•t. Учтите, что при свободном падении начальная скорость тела равна нулю. Если тело падает с известной высоты, то для определения мгновенной скорости в момент падения с этой высоты умножьте ее значение в метрах на число 19,62, а из полученного числа извлеките квадратный корень.
4
Определение мгновенной скорости спидометром или радаром Если движущееся тело оборудовано спидометром (автомобиль), то на его шкале или электронном табло будет непрерывно отображаться мгновенная скорость в данный момент времени. При наблюдении за телом с неподвижной точки (земля), направьте на него сигнал радара, на его табло отобразится мгновенная скорость тела в данный момент времени.
Видео по теме

Совет 6: Как определить радиус кривизны

Для изучения движения некоторого физического объекта (автомобиль, велосипедист, шарик в рулетке) достаточно изучить движение некоторых его точек. При исследовании движения оказывается, что все точки описывают некоторые кривые линии.
Инструкция
1
Знайте, что кривыми можно описать движение жидкости, газа, световых лучей, линий тока. Радиусом кривизны для плоской кривой в определенной точке является радиус касательной окружности в этой точке. В некоторых случаях кривая задается уравнениями, и радиус кривизны вычисляется по формулам. Соответственно, чтобы узнать радиус кривизны, необходимо узнать радиус окружности, касающейся определенной точки.
2
Определите на плоскости кривой точку А, вблизи нее возьмите еще одну точку В. Постройте касательные к имеющейся кривой, которые проходят через точки А и В.
3
Проведите через точки А и В линии, перпендикулярные построенным касательным, продлите их до пересечения. Обозначьте точку пересечения перпендикуляров, как О. Точка О является центром касательной окружности в данной точке. Значит ОА – радиус окружности, т.е. кривизны в данной конкретной точке А.
4
Заметим, что при движении точки по любой криволинейной траектории в любой момент движения она движется по какой-то окружности, которая меняется от точки к точке.
5
Если для точки в пространстве определить кривизны в двух взаимно перпендикулярных направлениях, то эти кривизны будут называться главными. Направление главных кривизн должно быть обязательно 900. Для вычислений часто используют среднюю кривизну, равную полусумме главных кривизн, и гауссову кривизну, равную их произведению. Существует также понятие кривизны кривой. Это величина, обратная радиусу кривизны.
6
Ускорение является важным фактором движения точки. Кривизна траектории напрямую влияет на ускорение. Ускорение возникает в том случае, когда точка с постоянной скоростью начинает двигаться по кривой. Меняется не только абсолютная величина скорости, но и ее направление, возникает центростремительное ускорение. Т.е. в реальности точка начинает двигаться по окружности, которой касается в данный момент времени.

Совет 7: Как найти нормальное ускорение

Нормальное ускорение наблюдается в том случае, когда тело движется по окружности. Причем движение это может быть равномерным. Природа этого ускорения связанна с тем, что тело, которое движется по окружности, постоянно меняет направление скорости, поскольку линейная скорость направлена по касательной к каждой точке окружности.
Вам понадобится
  • спидометр или радар, секундомер, дальномер.
Инструкция
1
С помощью спидометра или радара измерьте линейную скорость тела, которое движется по окружности. Дальномером измерьте ее радиус. Чтобы найти нормальное ускорение тела, которое движется по окружности, возьмите значение скорости в данный момент времени, возведите его в квадрат и поделите на радиус окружности траектории движения: a=v²/R.
2
Если при движении известна угловая скорость тела, найдите нормальное ускорение, используя ее значение. Для этого возведите квадрат угловую скорость и поделите на радиус окружности, по которой движется тело: a=ω²•R.

Если нет возможности измерить скорость тела, движущегося по окружности, рассчитайте ее через период вращения. Для того чтобы найти период вращения, с помощью секундомера измерьте время, за которое тело возвращается в исходную точку. Если тело движется слишком быстро, измерьте время, за которое производится несколько полных оборотов тела. Получившееся время поделите на количество вращений и получите время одного вращения, которое и называется периодом вращения. Время измеряйте в секундах. Чтобы найти нормальное ускорение, число 6,28 поделите на период вращения тела. Получившееся число возведите в квадрат и умножьте на радиус окружности, по которой движется тело: a=(6,28/T)²•R.
3
Нормальное ускорение можно измерить, зная частоту вращения тела. Для того чтобы вычислить частоту, некоторое количество вращений поделите на время в секундах, за которое они происходят. Результатом будет количество вращений за одну секунду – это и есть частота. Рассчитайте нормальное ускорение тела, умножив число 6,28 на частоту его вращения, получившееся число возведите в квадрат. Результат умножьте на радиус окружности, по которой движется тело: a=(6,28•υ)²•R.
Видео по теме
Совет полезен?
Нормальное ускорение всегда направлено к центру окружности, по которой движется тело.

Совет 8: Как узнать радиус кривизны

Пусть задана функция, определенная уравнением y = f(x) и соответствующим графиком. Требуется найти радиус ее кривизны, то есть измерить степень искривленности графика этой функции в некоторой точке x0.
Инструкция
1
Кривизна любой линии определяется скоростью поворота ее касательной в точке x при движении этой точки по кривой. Поскольку тангенс угла наклона касательной равен значению производной от f(x) в этой точке, то скорость изменения этого угла должна зависеть от второй производной.
2
Эталоном кривизны логично принять окружность, поскольку она равномерно искривлена на всем своем протяжении. Радиус такой окружности есть мера ее кривизны.

По аналогии, радиусом кривизны заданной линии в точке x0 называется радиус окружности, которая наиболее точно измеряет степень ее искривленности в этой точке.
3
Требуемая окружность должна соприкасаться с заданной кривой в точке x0, то есть располагаться со стороны ее вогнутости так, чтобы касательная к кривой в этой точке была также и касательной к окружности. Это значит, что если F(x) — уравнение окружности, то должны выполняться равенства:

F(x0) = f(x0),
F′(x0) = f′(x0).

Таких окружностей, очевидно, существует бесконечно много. Но для измерения кривизны необходимо выбрать ту, которая наиболее точно соответствует заданной кривой в этой точке. Поскольку кривизна измеряется второй производной, то к этим двум равенствам необходимо добавить еще и третье:

F′′(x0) = f′′(x0).
4
Исходя из этих соотношений, радиус кривизны вычисляется по формуле:

R = ((1 + f′(x0)^2)^(3/2))/(|f′′(x0)|).

Величина, обратная радиусу кривизны, называется кривизной линии в данной точке.
5
Если f′′(x0) = 0, то радиус кривизны равен бесконечности, то есть линия в этой точке не искривлена. Это всегда верно для прямых, а также для любых линий в точках перегиба. Кривизна в таких точках, соответственно, равна нулю.
6
Центр окружности, измеряющей кривизну линии в заданной точке, называется центром кривизны. Линия, являющаяся геометрическим местом для всех центров кривизны заданной линии, называется ее эволютой.

Совет 9: Как найти центростремительное ускорение

Центростремительное ускорение появляется при движении тела по окружности. Направленно оно к ее центру, измеряется в м/с². Особенностью этого типа ускорения является то, что оно есть даже тогда, когда тело движется с постоянной скоростью. Зависит оно от радиуса окружности и линейной скорости тела.
Вам понадобится
  • - спидометр;
  • - прибор для измерения расстояния;
  • - секундомер.
Инструкция
1
Для того чтобы найти центростремительное ускорение, измерьте скорость тела, движущегося по круговой траектории. Сделать это можно с помощью спидометра. Если установить этот прибор не представляется возможным, рассчитайте линейную скорость. Для этого засеките время, которое было затрачено на полный оборот по круговой траектории.
2
Это время является периодом вращения. Выразите его в секундах. Измерьте радиус окружности, по которой движется тело линейкой, рулеткой или лазерным дальномером в метрах. Чтобы найти скорость найдите произведение числа 2 на число π≈3,14 и радиус R окружности и поделите результат на период T. Это и будет линейная скорость тела v=2∙π∙R/T.
3
Найдите центростремительное ускорение aц, поделив квадрат линейной скорости v на радиус окружности, по которой движется тело R (aц=v²/R). Используя формулы для определения угловой скорости, частоты и периода вращения, находите эту величину и по другим формулам.
4
Если известна угловая скорость ω, и радиус траектории (окружности по которой движется тело) R то центростремительное ускорение будет равно aц= ω²∙R. Когда известен период вращения тела T, и радиус траектории R, то aц= 4∙π²∙R/T². Если известна частота вращения ν (количество полных вращений за одну секунду), то определите центростремительное ускорение по формуле aц= 4∙π²∙R∙ν².
5
Пример: автомобиль, радиус колес которого 20 см, движется по дороге со скоростью 72 км/ч. Определите центростремительное ускорение крайних точек его колес.

Решение: линейная скорость точек любого колеса составит 72 км/ч=20 м/с. Радиус колеса переведите в метры R=0,2 м. Рассчитайте центростремительное ускорение, подставив получившиеся данные в формулу aц=v²/R. Получите aц=20²/0,2=2000 м/с². Данное центростремительное ускорение при равномерном прямолинейном движении будет у крайних точек всех четырех колес автомобиля.

Совет 10: Как найти тангенциальное ускорение

Тангенциальное ускорение бывает у тел, движущихся по криволинейной траектории. Оно направлено в направлении изменения скорости тела по касательной к траектории движения. Тангенциального ускорения не бывает у тел, равномерно движущихся по окружности, они обладают только центростремительным ускорением.
Вам понадобится
  • - спидометр или радар;
  • - линейка или рулетка;
  • - секундомер.
Инструкция
1
Найдите тангенциальное ускорение aτ, если известно полное ускорение точки, движущейся по криволинейной траектории a и ее центростремительное ускорение an. Для этого от квадрата полного ускорения отнимите квадрат центростремительного ускорения, а из полученного значения извлеките квадратный корень aτ=√(a²-an²). Если неизвестно центростремительное ускорение, но есть значение мгновенной скорости, измерьте линейкой или рулеткой радиус кривизны траектории и найдите его значение, поделив квадрат мгновенной скорости v, которую измерьте спидометром или радаром на радиус кривизны траектории R, an=v²/R.
2
Пример. Тело движется по окружности радиусом 0,12 м. Его полное ускорение равно 5 м/с², определите его тангенциальное ускорение, в момент, когда его скорость равна 0,6 м/с. Сначала найдите центростремительное ускорение тела при указанной скорости, для этого ее квадрат поделите на радиус траектории an= v²/R= 0,6²/0,12=3 м/с². Найдите тангенциальное ускорение по формуле aτ=√(a²-an²)=√(5²-3²)=√(25-9)= √16=4 м/с².
3
Определите величину тангенциального ускорения через изменение модуля скорости. Для этого с помощью спидометра или радара определите начальную и конечную скорость тела за некоторый промежуток времени, который отмерьте при помощи секундомера. Найдите тангенциальное ускорение, отняв от конечного v начальное значение скорости v0 и поделив на промежуток времени t, за которое это изменение произошло: aτ= (v-v0)/t. Если значение тангенциального ускорения получилось отрицательным, значит, тело замедляется, если положительным – ускоряется.
4
Пример. За 4 с скорость тела, движущегося по окружности, уменьшилась с 6 до 4 м/с. Определите его тангенциальное ускорение. Применив расчетную формулу, получите aτ= (v-v0)/t=(4-6)/4=-0,5 м/с². Это значит, что тело замедляется с ускорением абсолютное значение которого равно 0,5 м/с².

Совет 11: Что означает радиус кривизны линз

Радиус кривизны контактных линз - параметр, который определяет их размер. Если он подобран неправильно, при ношении таких линз человек будет испытывать неудобства, а его зрение может значительно ухудшиться.

Как определяется радиус кривизны линз



Радиус кривизны линзы будет зависеть от строения глазных яблок человека. Поскольку линза размещается на роговице глаза, она должна повторять ее форму максимально точно. Глазное яблоко человека имеет примерно следующие показатели: длина глазного экватора (наибольшая окружность глаза во фронтальной плоскости) - 23,6 мм, длина оптической оси - 24 мм, вертикальный диаметр глаза - 23,4 мм. У человека, имеющего такие стандартные параметры, радиус кривизны будет составлять 8,6. Линзы с показателями от 8,3 до 8,8 можно легко найти в продаже.

Если радиус кривизны существенно отклоняется от среднестатистической нормы, линзы нужно изготавливать на заказ. Их эскиз составляется на консультации с офтальмологом. Врач определяет нужный радиус кривизны линзы способом, который называется «авторефрактометрия». Специалист исследует роговицу глаза при помощи методов компьютерной диагностики. Основой авторефрактометрии является принцип излучения инфракрасного света. Получившееся изображение пучка света до его отражения от сетчатки и после него фиксируют специальные датчики. Кроме радиуса кривизны линзы, определяется также разница в рефракции (преломляющей силы оптической системы глаза, выраженной в диоптриях) между глазами и величина астигматизма (неспособность глаз к правильной фокусировке зрения). В качестве точки фиксации при исследовании применяется бесконечно отдаленное изображение.

Что делать, если контактные линзы не подходят



В том случае, если линзы уже куплены, а радиус кривизны не походит, нужно поступить следующим образом. Если это различие не превышает 0,2, врачи обычно советуют носить такие линзы, при условии, что дискомфорт не ощущается. Если такое отклонение превышает 0,2, их носить нельзя. В случае, если человек надевает более выпуклые контактные линзы, их подвижность будет затруднена. Кровеносные сосуды будут сдавливаться, это неизбежно повлечет за собой покраснение глаз. Глазные яблоки будут находиться в постоянном напряжении, возможно появление нарушений слезообмена. Повысится угроза воспаления, зрение будет нестабильным.

В том случае, если радиус кривизны выше необходимого показателя, контактные линзы будут слишком подвижными. Они легко могут выпасть из глаз, нанести вред роговице, вызвать слезоточивость. Плоские линзы легко отходят от роговицы, человек ничего не сможет увидеть. Поскольку они задевают верхние мышцы глаз, при моргании появится боль.

Совет 12: Как Эратосфен вычислил радиус Земли

Легендарный древнегреческий астроном и математик Эрастофен опытным путем определил угол наклона Солнца к Земле в двух городах, лежащих, по его мнению, на одном меридиане. Зная расстояние между ними, он математически высчитал радиус нашей планеты. Вычисления оказались довольно точны.

Метод Эрастофена



Эрастофен жил в городе Александрия, расположенном на севере Египта недалеко от устья реки Нил на побережье Средиземного моря. Он знал, что в определенный день каждого года в городе Сиена на юге Египта на дне колодцев не было солнечной тени. То есть Солнце в тот момент находится прямо над головой.

Однако в Александрии, располагавшейся севернее Сиены, даже в день летнего солнцестояния Солнце никогда не бывает прямо над головой. Эрастофен понял, что можно определить, насколько Солнце смещено от положения «прямо над головой», измерив угол, образованный тенью от вертикального объекта. Он измерил длину тени от высокой башни в Александрии и, используя геометрию, вычислил угол между тенью и вертикальной башней. Он оказался равен примерно 7,2 градуса.

Далее Эрастофен использовал более сложные геометрические построения. Предположил, что угол от тени точно такой, как между Александрией и Сиеной, если считать от центра Земли. Для удобства посчитал, что 7,2 градуса составляет 1/50 часть полного круга. Чтобы найти длину окружности Земли, оставалось расстояние между Сиеной и Александрией умножить на 50.

По данным Эрастофена, расстояние между городами составляло 5 тыс. стадиев. Но общей единицы длины в те далекие времена не существовало, и сегодня неизвестно, каким именно стадием пользовался Эрастофен. Если он применял египетский, составлявший 157,5 м, радиус Земли равнялся 6287 км. Погрешность в таком случае была 1,6%. А если использовал более распространенный греческий стадий, равный 185 м, погрешность составляла бы 16,3%. В любом случае точность вычислений довольно хорошая для того времени.

Биография и научная деятельность Эрастофена



Считается, что Эрастофен родился в 276 году до нашей эры в городе Кирены, который находился на территории современной Ливии. Учился в течение нескольких лет в Афинах. Значительную часть своей взрослой жизни провел в Александрии. Умер в 194 году до нашей эры в возрасте 82 года. По некоторым версиям, сам себя уморил голодом, после того как ослеп.

Долгое время Эрастофен возглавлял Александрийскую библиотеку, самую знаменитую библиотеку древнего мира. Помимо того, что он вычислил размер нашей планеты, сделал еще ряд важных изобретений и открытий. Изобрел нехитрый метод определять простые числа, называемый теперь «решето Эрастофена».

Нарисовал «карту мира», в которой показал все части света, известные на тот момент древним грекам. Карта считалась одной из лучших для своего времени. Разработал систему долготы и широты и календарь, включавший високосные годы. Изобрел армиллярную сферу, механическое устройство, используемое ранними астрономами, чтобы демонстрировать и предсказывать видимое движение звезд на небе. Также составил звездный каталог, включавший в себя 675 звезд.
Источники:
  • Греческий ученый Эратосфен Киренский впервые в мире вычислил радиус Земли
  • Eratosthenes' Calculation of Earth's Circumference
  • Eratosthenes
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500