Совет 1: Как найти центр массы тела

Точку, в которой пересекаются линии действия сил, вызывающих поступательное движение тела, называют его центром масс. Необходимость расчета центра масс может возникнуть как при решении теоретических, так и практических задач.
Вам понадобится
  • - формула расчета центра масс.
Инструкция
1
Следует учитывать, что положение центра масс напрямую зависит от того, каким образом распределена по объему тела его масса. Центр масс может даже не находиться в самом теле, примером такого объекта может служить однородное кольцо, у которого центр масс находится в его геометрическом центре. То есть – в пустоте. При расчетах центр масс можно расценивать математической точкой, в которой сосредоточена вся масса тела.
2
Понятия центра масс и центра тяжести тела очень близки, поэтому при расчетах, в большинстве случаев, их можно считать синонимами. Отличие лишь в том, что для понятия центра тяжести необходимо наличие тяготения, а центр масс присутствует и при отсутствии силы тяжести. Тело, падающее свободно и без вращения, движется под действием силы тяготения, приложенной ко всем его точкам, при этом его центр масс совпадает с центром тяжести. Для определения центра масс в классической механике используется приведенная ниже формула.
3
Здесь R.ц.м. – радиус-вектор центра масс, mi – масса i-той точки, ri – радиус-вектор i-той точки системы. На практике во многих случаях легко найти центр масс, если предмет имеет некую строгую геометрическую форму. Например, у однородного стержня он находится точно посередине. У параллелограмма - на пересечении диагоналей, у треугольника это точка пересечения медиан, а у правильного многоугольника центр масс находится в центре поворотной симметрии.
Как найти центр массы тела
4
Для более сложных тел задача расчета усложняется, в этом случае необходимо разбить объект на однородные объемы. Для каждого из них отдельно высчитываются центры масс, после чего найденные значения подставляются в соответствующие формулы и находится итоговое значение.
5
На практике необходимость определения центра масс (центра тяжести) обычно связана с конструкторскими работами. Например, при проектировании судна важно обеспечить его остойчивость. Если центр тяжести будет находиться очень высоко, то судно может опрокинуться. Как рассчитать нужный параметр для такого сложного объекта, как судно? Для этого находятся центры тяжести его отдельных элементов и агрегатов, после чего найденные значения складываются с учетом их месторасположения. При конструировании центр тяжести обычно стараются расположить как можно ниже, поэтому наиболее тяжелые агрегаты располагают в самом низу.

Совет 2: Как определить центр массы

Центр масс – важнейшая геометрическая и техническая характеристика тела. Без вычисления его координат невозможно представить конструирование в машиностроении, решение задач строительства и архитектуры. Точное определение координат центра массы производится с помощью интегрального исчисления.
Инструкция
1
Начинать всегда следует от простого, постепенно переходя к более сложным ситуациям. Исходите из того, что определению подлежит центр массы непрерывной плоской фигуры D, плотность которой ρ постоянна и равномерно распределена в ее пределах. Аргумент х изменяется от а до b, y от c до d. Разбейте фигуру сеткой вертикальных (x=x(i-1), x=xi (i=1,2,…,n)) и горизонтальных прямых (y=y(j-1), y=xj (j=1,2,…,m)) на элементарные прямоугольники с основаниями ∆хi=xi-x(i-1) и высотами ∆yj=yj-y(j-1) (см. рис. 1). При этом середину элементарного отрезка ∆хi найдите как ξi=(1/2)[xi+x(i-1)], а высоту ∆yj как ηj=(1/2)[yj+y(j-1)]. Поскольку плотность распределяется равномерно, то центр массы элементарного прямоугольника совпадет с ее геометрическим центром. То есть Хцi=ξi, Yцi=ηj.
Как определить центр массы
2
Массу М плоской фигуры (если она неизвестна), вычислите как произведение плотности на площадь. Замените элементарную площадь на ds=∆хi∆yj=dxdy. Представьте ∆mij в виде dM=ρdS=ρdxdy и получите ее массу по формуле, приведенной на рисунке. 2a. При малых приращениях считайте, что масса ∆mij, сосредоточена в материальной точке с координатами Хцi=ξi, Yцi=ηj. Из задач механики известно, что каждая координата центра масс системы материальных точек равна дроби, числитель которой содержит сумму статических моментов масс mν относительно соответствующей оси, а знаменатель равен сумме этих масс. Статический момент массы mν, относительно оси 0х равен уν*mν, а относительно 0у хν*mν.
Как определить центр массы
3
Примените это правило к рассматриваемой ситуации и получите приблизительные значения статических моментов Јх и Ју в виде Ју≈{∑ξνρ∆xν∆yν}, Јх≈{∑ηνρ∆xν∆yν} (суммирование производилось по ν от 1 до N). Входящие в последнее выражения суммы являются интегральными. Перейдите к пределам от них при ∆хν→0 ∆yν→0 и запишите окончательные формулы (см. рис. 2b). Координаты центра масс находите делением соответствующего статистического момента на общую массу фигуры М.
4
Методология получения координат центра масс пространственной фигуры G отличается лишь тем, что возникают тройные интегралы, а статические моменты рассматриваются относительно координатных плоскостей. Не следует забывать и что плотность не обязательно постоянна, то есть ρ(x,y,z)≠const. Поэтому окончательный и самйы общий ответ имеет вид (см. рис. 3).
Как определить центр массы
Источники:
  • Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2., М.: 1976, 576 с., ил.
Источники:
  • Центр масс
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500