Совет 1: Как найти центр массы тела

Точку, в которой пересекаются линии действия сил, вызывающих поступательное движение тела, называют его центром масс. Необходимость расчета центра масс может возникнуть как при решении теоретических, так и практических задач.
Вам понадобится
  • - формула расчета центра масс.
Инструкция
1
Следует учитывать, что положение центра масс напрямую зависит от того, каким образом распределена по объему тела его масса. Центр масс может даже не находиться в самом теле, примером такого объекта может служить однородное кольцо, у которого центр масс находится в его геометрическом центре. То есть – в пустоте. При расчетах центр масс можно расценивать математической точкой, в которой сосредоточена вся масса тела.
2
Понятия центра масс и центра тяжести тела очень близки, поэтому при расчетах, в большинстве случаев, их можно считать синонимами. Отличие лишь в том, что для понятия центра тяжести необходимо наличие тяготения, а центр масс присутствует и при отсутствии силы тяжести. Тело, падающее свободно и без вращения, движется под действием силы тяготения, приложенной ко всем его точкам, при этом его центр масс совпадает с центром тяжести. Для определения центра масс в классической механике используется приведенная ниже формула.
3
Здесь R.ц.м. – радиус-вектор центра масс, mi – масса i-той точки, ri – радиус-вектор i-той точки системы. На практике во многих случаях легко найти центр масс, если предмет имеет некую строгую геометрическую форму. Например, у однородного стержня он находится точно посередине. У параллелограмма - на пересечении диагоналей, у треугольника это точка пересечения медиан, а у правильного многоугольника центр масс находится в центре поворотной симметрии.
Как найти центр массы тела
4
Для более сложных тел задача расчета усложняется, в этом случае необходимо разбить объект на однородные объемы. Для каждого из них отдельно высчитываются центры масс, после чего найденные значения подставляются в соответствующие формулы и находится итоговое значение.
5
На практике необходимость определения центра масс (центра тяжести) обычно связана с конструкторскими работами. Например, при проектировании судна важно обеспечить его остойчивость. Если центр тяжести будет находиться очень высоко, то судно может опрокинуться. Как рассчитать нужный параметр для такого сложного объекта, как судно? Для этого находятся центры тяжести его отдельных элементов и агрегатов, после чего найденные значения складываются с учетом их месторасположения. При конструировании центр тяжести обычно стараются расположить как можно ниже, поэтому наиболее тяжелые агрегаты располагают в самом низу.

Совет 2: Как определить центр массы

Центр масс – важнейшая геометрическая и техническая характеристика тела. Без вычисления его координат невозможно представить конструирование в машиностроении, решение задач строительства и архитектуры. Точное определение координат центра массы производится с помощью интегрального исчисления.
Инструкция
1
Начинать всегда следует от простого, постепенно переходя к более сложным ситуациям. Исходите из того, что определению подлежит центр массы непрерывной плоской фигуры D, плотность которой ρ постоянна и равномерно распределена в ее пределах. Аргумент х изменяется от а до b, y от c до d. Разбейте фигуру сеткой вертикальных (x=x(i-1), x=xi (i=1,2,…,n)) и горизонтальных прямых (y=y(j-1), y=xj (j=1,2,…,m)) на элементарные прямоугольники с основаниями ∆хi=xi-x(i-1) и высотами ∆yj=yj-y(j-1) (см. рис. 1). При этом середину элементарного отрезка ∆хi найдите как ξi=(1/2)[xi+x(i-1)], а высоту ∆yj как ηj=(1/2)[yj+y(j-1)]. Поскольку плотность распределяется равномерно, то центр массы элементарного прямоугольника совпадет с ее геометрическим центром. То есть Хцi=ξi, Yцi=ηj.
Как определить центр массы
2
Массу М плоской фигуры (если она неизвестна), вычислите как произведение плотности на площадь. Замените элементарную площадь на ds=∆хi∆yj=dxdy. Представьте ∆mij в виде dM=ρdS=ρdxdy и получите ее массу по формуле, приведенной на рисунке. 2a. При малых приращениях считайте, что масса ∆mij, сосредоточена в материальной точке с координатами Хцi=ξi, Yцi=ηj. Из задач механики известно, что каждая координата центра масс системы материальных точек равна дроби, числитель которой содержит сумму статических моментов масс mν относительно соответствующей оси, а знаменатель равен сумме этих масс. Статический момент массы mν, относительно оси 0х равен уν*mν, а относительно 0у хν*mν.
Как определить центр массы
3
Примените это правило к рассматриваемой ситуации и получите приблизительные значения статических моментов Јх и Ју в виде Ју≈{∑ξνρ∆xν∆yν}, Јх≈{∑ηνρ∆xν∆yν} (суммирование производилось по ν от 1 до N). Входящие в последнее выражения суммы являются интегральными. Перейдите к пределам от них при ∆хν→0 ∆yν→0 и запишите окончательные формулы (см. рис. 2b). Координаты центра масс находите делением соответствующего статистического момента на общую массу фигуры М.
4
Методология получения координат центра масс пространственной фигуры G отличается лишь тем, что возникают тройные интегралы, а статические моменты рассматриваются относительно координатных плоскостей. Не следует забывать и что плотность не обязательно постоянна, то есть ρ(x,y,z)≠const. Поэтому окончательный и самйы общий ответ имеет вид (см. рис. 3).
Как определить центр массы
Источники:
  • Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2., М.: 1976, 576 с., ил.

Совет 3: Как найти силу притяжения

Закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном в 1666 году и опубликованный в 1687 году, гласит, что все тела, обладающие массой, притягиваются друг к другу. Математическая формулировка позволяет не только установить сам факт взаимного притяжения тел, но и измерить его силу.
Инструкция
1
Еще до Ньютона многие ученые высказывали предположения о существовании всемирного тяготения. С самого начала им было очевидно, что притяжение между любыми двумя телами должно зависеть от их массы и ослабевать с расстоянием. Иоганн Кеплер, первым описавший эллиптические орбиты планет Солнечной системы, считал, что Солнце притягивает планеты с силой, обратно пропорциональной расстоянию.
2
Ньютон исправил ошибку Кеплера: он пришел к выводу, что сила взаимного притяжения тел обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и прямо пропорциональна их массам.
3
Окончательно закон всемирного тяготения формулируется так: любые два тела, обладающие массой, взаимно притягиваются, и сила их притяжения равна



F = G* ((m1*m2)/R^2),



где m1 и m2 — массы тел, R — расстояние между телами, G — гравитационная постоянная.
4
Гравитационная постоянная равна 6,6725*10^(-11) м^3/(кг*с^2). Это чрезвычайно малое число, так что сила тяготения — одна из самых слабых сил во вселенной. Тем не менее именно она удерживает планеты и звезды на орбитах и в целом формирует облик вселенной.
5
Если тело, участвующее в тяготении, обладает приблизительно сферической формой, то расстояние R следует отмерять не от его поверхности, а от центра масс. Материальная точка с той же массой, находящаяся точно в центре, порождала бы точно такую же силу притяжения.



В частности, это значит, что, например, при расчете силы, с которой Земля притягивает стоящего на ней человека, расстояние R равно не нулю, а радиусу Земли. На самом деле оно равно расстоянию между центром Земли и центром тяжести человека, но этой разницей можно пренебречь без потери точности.
6
Гравитационное притяжение всегда взаимно: не только Земля притягивает человека, но и человек, в свою очередь, притягивает Землю. Из-за огромной разницы между массой человека и массой планеты это незаметно. Аналогично и при расчетах траекторий космических аппаратов обычно пренебрегают тем, что аппарат притягивает к себе планеты и кометы.



Однако если массы взаимодействующих объектов сравнимы, то их взаимное притяжение становится заметным для всех участников. Например, с точки зрения физики не вполне верно говорить, что Луна вращается вокруг Земли. В действительности Луна и Земля вращаются вокруг общего центра масс. Поскольку наша планета намного больше своего естественного спутника, то этот центр находится внутри нее, но все же с центром самой Земли не совпадает.
Видео по теме
Источники:
  • Классная физика для любознательных - закон всемирного тяготения

Совет 4: Как найти массу солнца

Математика и физика, возможно, самые удивительные науки из доступных человеку. Описывая мир через вполне определенные и поддающиеся расчету законы, ученые могут «на кончике пера» получить значения, измерить которые, на первый взгляд, кажется невозможным.
Инструкция
1
Один из базовых законов физики – закон всемирного тяготения. Он гласит, что все тела во вселенной притягиваются друг к другу с силой, равной F=G*m1*m2/r^2. При этом G является определенной константой (будет указана непосредственно во время расчета), m1 и m2 означают массы тел, а r –расстояние между ними.
2
Массу Земли можно вычислить на основе эксперимента. При помощи маятника и секундомера можно рассчитать ускорение свободного падения g (шаг будет опущен за несущественностью), равное 10 м/c^2. Согласно второму закону Ньютона F можно представить как m*a. Поэтому, для тела, притягивающегося к Земле: m2*a2=G*m1*m2/r^2, где m2 – масса тела, m1 – масса Земли, a2=g. После преобразований (сокращения m2 в обеих частях, переноса m1 влево, а a2 - вправо) уравнение примет следующий вид: m1=(ar)^2/G. Подстановка значений дает m1=6*10^27
3
Расчет массы Луны опирается на правило: расстояния от тел до центра масс системы обратно пропорциональны массам тел. Известно, что Земля и Луна обращаются вокруг некоторой точки (Цм), причем расстояния от центров планет до этой точки относятся как 1/81,3. Отсюда Мл=Мз/81,3=7.35*10^25.
4
Дальнейшие вычисления опираются на 3-ий закон Кепплера, согласно которому (T1/T2)^2*(M1+Mc)/(M2+Mc)=(L1/L2)^3, где T – период обращения небесного тела вокруг Солнца, L – расстояние до последнего, M1, M2 и Mc – массы двух небесных тел и звезды, соответственно. Составив уравнения для двух систем (земля+луна – солнце / земля - луна) можно увидеть, что одна часть уравнения получается общей, а значит, вторые можно приравнять.
5
Расчетной формулой в наиболее общем виде является Lз^3/(Tз^2*(Mc+Мз)=Lл^3/(Tл^2*(Mз+Мл). Массы небесных тел были вычислены теоретически, периоды обращения находятся практически, для расчета L используются объемные математические исчисления либо практические методы. После упрощения и подстановки необходимых значений уравнение примет вид: Мс/Мз+Мл=329.390. Отсюда Мс=3,3*10^33.

Совет 5: Как найти кинетическую энергию

Кинетическая энергия – это энергия механической системы, которая зависит от скоростей движения каждой из ее точек. Другими словами, кинетическая энергия представляет собой разницу между полной энергией и энергией покоя рассматриваемой системы, та часть полной энергии системы, которая обусловлена движением. Кинетическая энергия делится на энергию поступательного и вращательного движения. Единицей измерения кинетической энергии в системе СИ является Джоуль.
Инструкция
1
В случае поступательного движения все точки системы (тела) имеют одинаковые скорости движения, которые равны скорости движения центра масс тела. При этом кинетическая энергия системы Тпост равна:
Tпост = ? (mk Vс2)/2,
где mk –масса тела, Vс – скорость центра масс.Таким образом, при поступательном движении тела кинетическая энергия равна произведению массы тела на квадрат скорости центра масс, деленному на два. При этом значение кинетической энергии не зависит от направления движения.
2
При вращательном движении, когда тело вращается вокруг какой либо оси Оz, скорость любой его точки определяет уравнение: Vk = ?hk, где hk - это расстояние данной точки до оси вращения, ? - угловая скорость тела. Если подставить уравнение, определяющее скорость точки в выражение и вынести общие множители за скобку, получим уравнение кинетической энергии системы при вращательном движении: Tвр = ? (mk ?2 hk2)/2 = ? (mk hk2) ?2/2Выражение, вынесенное в скобки, представляет собой момент инерции тела, относительно оси, вокруг которой происходит вращение тела. Отсюда получим: Tвр = (Iz ?2)/2, где Iz – момент инерции тела. Таким образом, при вращательном движении тела, его кинетическая энергия равна произведению момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости, деленному пополам. При этом направление вращения тела не влияет на значения его кинетической энергии.
3
В случае абсолютно твердого тела полная кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений:T = (mk Vc2)/2 + (Iz ?2)/2
Обратите внимание
Кинетическая энергия – всегда положительная величина.
Источники:
  • как находится энергия

Совет 6: Как определить центр тяжести

Еще в школе на уроках физики мы впервые знакомимся с таким понятием, как центр тяжести. Задача не из легких, но хорошо объяснима и понятна. Не только юному физику понадобится знать определение центра тяжести. И если вы столкнулись с данной задачей, стоит прибегнуть к подсказкам и напоминаниям, дабы обновить свою память.
Инструкция
1
Проштудировав учебники физики, механики, словари или энциклопедии, вы наткнетесь на определение центра тяжести или как по другому называют центр масс.

В разных науках немного разные определения, но суть, фактически, не теряется. Центр тяжести всегда находится в центре симметрии тела. Для более наглядного понятия «центр тяжести (или по другому называют центр масс) - это точка, что неизменно связанна с твердым телом. Через неё проходит равнодействующая сил тяжести, действующие на частицу данного тела при любом его положение».
2
Если центр тяжести твердого тела - это точка, значит она должна иметь свои координаты.

Для определения важно знать координаты по x, y, z, i-той части тела и вес, обозначающийся буквой - p.
3
Рассмотрим пример задачи.

Даны два тела различных масс m1 и m2,на которые действуют разные весовые силы (как изображено на рисунке). Записав формулы веса:

P1= m1*g, Р2= m2*g;

Центр тяжести находится между двумя массами. И если все тело подвесить в т.О, наступит значение равновесие, то есть эти предметы перестанут перевешивать друг друга.
4
Разнообразные геометрические фигуры имеют физические и математические расчеты по поводу центра тяжести. К каждому свой подход и свой метод.

Рассматривая диск, уточняем, что центр тяжести находится внутри него, точнее в точке пересечения диаметров (как показано на рисунке в т.С - точка пересечение диаметров). Таким же способом находят центры параллелепипеда или однородного шара.
5
Представленный диск и два тела с массами m1 и m2 - однородной массы и правильной формы. Здесь можно отметить, что искомый нами центр тяжести находится внутри этих предметов. Однако, в телах с неоднородной массой и неправильной формы центр может находится за пределами предмета. Чувствуете сами, что задача уже становится сложнее.
Источники:
  • Центр масс
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500