Совет 1: Как найти базис системы векторов

Любая упорядоченная совокупность n линейно независимых векторов e₁, e₂, …, en линейного пространства Х размерности n называется базисом этого пространства. В пространстве R³ базис образуют, например, векторы і, j k. Если x₁, x₂, …, xn – элементы линейного пространства, то выражение α₁x₁+ α₂x₂+ …+ αnxn называется линейной комбинацией этих элементов.
Инструкция
1
Ответ на вопрос о выборе базиса линейного пространства можно посмотреть в первом приведенном источнике дополнительных сведений. В первую очередь следует запомнить, что универсального ответа нет. Систему векторов можно подобрать и затем доказать, что она пригодна к использованию в качестве базиса. Алгоритмически этого сделать нельзя. Поэтому самые известные базисы появлялись в науке не столь часто.
2
Произвольное линейное пространство не так богато свойствами, как пространство R³. Помимо операций сложения векторов и умножения вектора на число в R³ можно производить измерения длин векторов, углов между ними, а также вычислять расстояния между объектами пространства, площади, объемы. Если на произвольное линейное пространство наложить дополнительную структуру (x,y)=x₁y₁+x₂y₂ +…+ xnyn, которая называется скалярным произведением векторов x и у, то оно будет называться евклидовым (Е). Именно такие пространства и представляют практическую ценность.
3
Cледуя аналогиям пространства Е³, вводится понятие ортогональности в произвольном по размерности базисе. Если скалярное произведение векторов х и у (х,у)=0, то эти векторы ортогональны.

В С[a,b] (так обозначается пространство непрерывных на [a,b] функций) скалярное произведение функций вычисляется с помощью определенного интеграла от их произведения. Пи этом функции ортогональны на [a,b], если ∫[a,b] φі(t)φј(t)dt=0, i≠j (формула дублирована на рис. 1а). Ортогональная система векторов является линейно независимой.
4
Введенные в рассмотрение функции приводят к линейным функциональным пространствам. Считайте их ортогональными. В общем случае такие пространства являются бесконечномерными. Рассмотрите разложение по ортогональному базису e₁(t), e₂(t),e₃(t), … вектора (функции) х(t) евклидова функционального пространства (см. рис. 1b). Для нахождения коэффициентов λ (координат вектора х), обе части первой на рис. 1b формулы были скалярно умножены на вектор еĸ. Они называются коэффициентами Фурье. Если окончательный ответ представить в виде выражения, приведенного на рис. 1в, то получится функциональный ряд Фурье по системе ортогональных функций.
Как найти базис системы векторов
5
Рассмотрите систему тригонометрических функций 1, sint, cost, sin2t, cos2t, …, sinnt, cosnt, … Убедитесь в том, что эта система ортогональна на [-π, π]. Это можно сделать простой проверкой. Поэтому в пространстве C[-π, π] тригонометрическая система функций является ортогональным базисом. Тригонометрический ряд Фурье составляет основу теории спектров радиотехнических сигналов.

Совет 2: Как найти базис системы

Базисом системы векторов называют упорядоченную совокупность линейно независимых векторов e₁, e₂, …, en линейной системы X размерности n. Универсального решение задачи по нахождению базиса конкретной системы не существует. Можно сначала вычислить его, а затем доказать существование.
Вам понадобится
  • бумага, ручка
Инструкция
1
Выбор базиса линейного пространства можно осуществить при помощи второй ссылки, приведенной после статьи. Искать универсальный ответ не стоит. Подберите систему векторов, а затем приведите доказательство ее пригодности в качестве базиса. Не пробуйте делать это алгоритмически, в данном случае надо идти другим путем.
2
Произвольное линейное пространство, по сравнению с пространством R³, не богато свойствами. Произведите сложение или умножение вектора на число R³. Можно пойти следующим путем. Измерьте длины векторов и углы между ними. Вычислите величину площади, объемы и расстояние между объектами пространства. Затем выполните следующие манипуляции. Наложите на произвольное пространство склярное произведение векторов x и у ((x,y)=x₁y₁+x₂y₂ +…+ xnyn). Теперь его можно назвать Евклидовым. Оно представляет огромную практическую ценность.
3
В произвольном по размерности базисе введите понятие ортогональности. Если склярное произведение векторов x и y равно нулю, значит они ортогональны. Такая система векторов является линейно независимой.
4
Ортогональные функции в общем случае являются бесконечномерными. Поработайте с Евклидовым функциональным пространством. Разложите по ортогональному базису e₁(t), e₂(t),e₃(t), … вектора (функции) х(t). Внимательно изучите результат. Найдите коэффициент λ (координат вектора х). Для этого коэффициент Фурье умножьте на вектор еĸ (см. рисунок). Полученную в результате вычислений формулу можно назвать функциональным рядом Фурье по системе ортогональных функций.
Как найти базис системы
5
Изучите систему функций 1, sint, cost, sin2t, cos2t, …, sinnt, cosnt, …. Определите ортогональна ли она на на на [-π, π]. Выполните проверку. Для этого вычислите склярные произведения векторов. Если результат проверки доказывает ортогональность этой тригонометрической системы, то она является базисом в пространстве C[-π, π].
Видео по теме
Обратите внимание
В С[a,b] (так обозначается пространство непрерывных на [a,b] функций) скалярное произведение функций вычисляется с помощью определенного интеграла от их произведения. Пи этом функции ортогональны на [a,b], если ∫[a,b] φі(t)φј(t)dt=0, i≠j
Совет полезен?
Система тригонометрических функций должна быть ортогональная только именно [-π, π].
Источники:
  • Базис. Размерность.
  • Как найти базис системы вектор-столбцов.
Источники:
  • Psi Сoma. Автор КакProsto.ru. Как найти базис системы вектор-столбцов. http://www.kakprosto.ru/kak-103548-kak-nayti-bazis-sistemy-vektor-stolbcov
  • Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004.
  • найти базис системы векторов онлайн
Поиск
ВАЖНО! Проблемы сердца сильно "помолодели". Потратьте 3 минуты на просмотр ролика. Защитите себя и близких от страшных проблем.
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500