Совет 1: Как доказать совместимость системы линейных уравнений

Одно из заданий высшей математики – доказательство совместимости системы линейных уравнений. Доказательство необходимо проводить по теореме Кронкера-Капелли, согласно которой система совместна, если ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.
Инструкция
1
Запишите основную матрицу системы. Для этого приведите уравнения в стандартный вид (то есть выставьте все коэффициенты в одном и том же порядке, если какого либо из них нет – запишите, просто с числовым коэффициентом «0»). Выпишите все коэффициенты в виде таблицы, заключите ее в скобки (свободные члены, перенесенные в правую часть, не учитывайте).
2
Точно также запишите расширенную матрицу системы, только в этом случае поставьте справа вертикальную черту и запишите столбик свободных членов.
3
Посчитайте ранг основной матрицы, это наибольший ненулевой минор. Минор первого порядка – это любая цифра матрицы, очевидно, что она не равна нулю. Чтобы посчитать минор второго порядка, возьмите любые две строки и любые два столбца (у вас получится таблица из четырех цифр). Посчитайте определитель, умножьте верхнее левое число на нижнее правое, вычтите из полученного числа произведение нижнего левого и верхнего правого. У вас получился минор второго порядка.
4
Сложнее посчитать минор третьего порядка. Для этого возьмите любые три строки и три столбца, у вас получится таблица из девяти чисел. Посчитайте определитель по формуле: ∆=а11а22а33+а12а23а31+а21а32а13-а31а22а13-а12а21а33-а11а23а32 (первая цифра коэффициента – номер строки, вторая цифра – номер столбца). Вы получили минор третьего порядка.
5
Если в вашей системе четыре или более уравнений, посчитайте также миноры четвертого (пятого и т.д.) порядков. Выберите самый большой, не равный нулю минор – это и будет ранг основной матрицы.
6
Точно так же найдите ранг расширенной матрицы. Обратите внимание, если количество уравнений в вашей системе совпадает с рангом (например, три уравнения, и ранг равен 3), рассчитывать ранг расширенной матрицы нет смысла – очевидно, что он также будет равен этому числу. В таком случае можно смело делать вывод о том, что система линейных уравнений совместна.

Совет 2: Как найти ранг матрицы

Рангом матрицы S называют наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Минорами являются определители квадратной матрицы, которая получается из исходной путем выбора произвольных строк и столбцов. Обозначается ранг Rg S, а его вычисление можно выполнить с помощью проведения элементарных преобразований над заданной матрицей или методом окаймления ее миноров.
Инструкция
1
Запишите заданную матрицу S и определите ее наибольший порядок. Если количество столбцов m матрицы меньше 4, имеет смысл находить ранг матрицы с помощью определения ее миноров. Согласно определению, ранг будет равен самому большому минору, отличному от нуля.
2
Минором 1 порядка исходной матрицы является любой ее элемент. Если хоть один из них отличен от нуля (то есть матрица не является нулевой), следует перейти к рассмотрению миноров следующего порядка.
3
Вычислите миноры 2 порядка матрицы, последовательно выбирая из исходной по 2 строки и 2 столбца. Запишите полученную квадратную матрицу 2х2 и вычислите ее определитель по формуле D = а11*а22 – а12*а21, где аij – элементы выбранной матрицы. Если D=0, вычислите следующий минор, выбрав другую матрицу 2х2 из строк и столбцов исходной. Продолжайте аналогичным образом рассматривать все миноры 2 порядка до тех пор, пока не встретится ненулевой определитель. В этом случае переходите к нахождению миноров 3 порядка. Если все рассмотренные миноры 2 порядка равны нулю, поиск ранга завершается. Ранг матрицы Rg S будет равен последнему порядку ненулевого минора, то есть в этом случае Rg S = 1.
4
Вычислите миноры 3 порядка для исходной матрицы, выбирая уже по 3 строки и 3 столбца для вычисления определителя квадратной матрицы. Определитель D матрицы 3х3 находится по правилу треугольника D = c11* c22*c33 + c13* c21*c32 + c12* c23*c31 - c21* c12*c33 - c13* c22*c31 - c11* c32*c23, где сij – элементы выбранной матрицы. Аналогичным образом при D=0 вычисляйте остальные миноры 3х3, пока не встретится хотя бы один ненулевой детерминант. Если все найденные определители равны нулю, ранг матрицы в данном случае равен 2 (Rg S = 2), то есть порядку предыдущего ненулевого минора. При определении D, отличного от нуля, переходите к рассмотрению миноров следующего 4 порядка. Если на определенном этапе достигнут предельный порядок m исходной матрицы, следовательно, ее ранг будет равен этому порядку: Rg S = m.
Видео по теме
Обратите внимание
Ранг нулевой матрицы, т.е. полностью состоящей из нулевых элементов, считается равным нулю.

Совет 3: Как решать систему уравнений по графикам

Система уравнений представляет собой совокупность математических записей, каждая из которых содержит некоторое количество переменных. Существует несколько способов их решения.
Вам понадобится
  • -линейка и карандаш;
  • -калькулятор.
Инструкция
1
Решить систему уравнений - означает найти множество всех ее решений, или доказать, что она их не имеет. Её принято записывать с помощью фигурной скобки.
2
Для решения системы уравнений с двумя переменными обычно используют следующие методы: графический способ, способ подстановки и способ сложения. Остановимся подробнее на первом из вышеперечисленных вариантов.
3
Рассмотрим последовательность решения системы, которая состоит из линейных уравнений имеющих вид: a1x + b1y = c1 и a2x + b2y = c2. Где x и y – неизвестные переменные, а b,c – свободные члены. При применении данного способа каждое решение системы представляет собой координаты точек прямых, соответствующих каждому уравнению. Для начала в каждом случае выразите одну переменную через другую. Затем задайте переменной х несколько любых значений. Достаточно два. Подставьте в уравнение и найдите y. Постройте систему координат, отметьте на ней полученные точки и проведите через них прямую. Аналогичные расчеты необходимо провести и для других частей системы.
4
Точка или точки пересечения построенных графиков и будут являться решением данной совокупности уравнений.
5
Система имеет единственное решение, если построенные прямые пересекаются и имеют одну общую точку. Она несовместна, если графики параллельны друг другу. И имеет бесконечно много решений, когда прямые сливаются друг с другом.
6
Данный способ считается очень наглядным. Главным недостатком является то, что вычисленные неизвестные имеют приближенные значения. Более точный результат дают так называемые алгебраические методы.
7
Любое решение системы уравнений стоит проверить. Для этого подставьте вместо переменных полученные значения. Так же можно найти его решение несколькими методами. Если решение системы верное, то все ответы должны получиться одинаковыми.

Совет 4: Как решать системы нелинейных уравнений

Системы линейных уравнений решаются с помощью матриц. Для систем нелинейных уравнений не существует общего алгоритма решения. Однако применение некоторых методов может помочь.
Инструкция
1
Попробуйте привести одно из уравнений к хорошему виду, то есть, такому, в котором одно из неизвестных легко выражается через другое. Например, уравнение (x²-2y²)/xy=2 при первом рассмотрении кажется сложным. Однако можно заметить, что при x≠0, y≠0 оно эквивалентно x²-2y²=2xy, что в конечном итоге приводится к квадратному уравнению x²-2xy-2y²=0. Левую часть легко разложить на множители: x²-2xy-2y²=(x-3y)(x+y). Теперь можно выразить одну переменную через другую, ведь уравнение (x-3y)(x+y)=0 дает совокупность решений x-3y=0, x+y=0. Осталось подставить результат в другое уравнение системы и решить его.
2
Иногда во внешне страшных системах нелинейных уравнений замаскированы формулы сокращенного умножения: квадрат суммы, квадрат разности, куб суммы, куб разности, разность квадратов и другие. Надо уметь их видеть. Пробуйте складывать и вычитать уравнения системы друг с другом. Помните также и о том, что умножение обеих частей уравнения на одно и то же число сохраняет верность равенства. Это тоже в некоторых случаях может помочь найти решение.
3
Попытайтесь разложить какое-либо из уравнений на линейные множители. Попробуйте решить его как квадратное уравнение относительно одной из неизвестных. Вдруг дискриминант окажется полным квадратом? Это значительно упростит задачу, ведь тогда при поиске корней квадратного уравнения вы сможете избавиться от знака квадратного корня.
4
Иногда срабатывает метод замены переменных. Но тут, конечно, подобрать подходящую замену бывает очень сложно. Особо удачная замена может сделать систему тривиальной. Только в конце не забудьте найти и записать ответ для начальных величин, т.к. в процессе решения часто забывается, что же требуется найти.
Видео по теме
Совет полезен?
Тренируйтесь, набирайтесь опыта, пробуйте себя в решении олимпиадных задач по математике. Со временем нетривиальные системы линейных уравнений будут даваться вам всё лучше и лучше. Если какая-то задача не получается, решайте ее вечером, перед сном. Во сне мозг решает дневные задачи в другом режиме, так что вы вполне можете проснуться утром, зная ответ.
Источники:
  • «Математика абитуриенту», В.В. Ткачук, 2008.

Совет 5: Как найти фундаментальную систему решений

Данный вопрос относится к решению однородных линейных дифференциальных уравнений n-го порядка. При этом обосновывается, но не решается на конкретных примерах, поиск системы решений, называемой фундаментальной (сокращенно ФСР), линейная комбинация функций которой дает общее решение дифференциального уравнения.
Инструкция
1
Дифференциальное уравнение высшего порядка называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и всех ее производных. Общий вид линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) n-го порядка иллюстрирует рис. 1.
2
Левую часть уравнения (1) называют линейным дифференциальным оператором n-го порядка и обозначают: L[y]: L[y]=y^(n)+a1(x) y^(n-1)+…+a(n-1)(x) y’+a^n(x y)=0. Уравнение (1) можно переписать в виде L[y]=0.
3
Пусть на промежутке (a, b) дана система функций у1(x), у2(x),…, уn(x). Функции у1(x), у2(x),…, уn(x) называются линейно независимыми на (a, b), если линейная комбинация k1у1(x)+k2 у2(x)+…+knуn(x)=0, лишЬ при k1=k2=…=kn=0.
4
Теперь необходимо рассмотреть вопрос обоснования линейной независимости системы функций у1(x), у2(x),…, уn(x). Пусть они имеют производные до (n-1)-го порядка включительно. Определитель, составленный из этих функций и их производных, называется определителем Вронского (см. рис. 2) или вронскнианом.
5
Построение определителя Вронского, составленного из решений ЛОДУ L[y]=0 на промежутке (a, b), позволяет ответить на вопрос о том, являются ли эти решения линейно-зависимыми. Несложно доказать, что если функции у1(x), у2(x),…, уn(x) линейно зависимы на промежутке (a, b), то определитель Вронского этих функций равен нулю во всех точках интервала. Учитывая данное свойство ЛОДУ, можно легко сформулировать следующее утверждение.
6
Для того чтобы решения ЛОДУ у1(x), у2(x),…, уn(x) с непрерывными на интервале (a, b) коэффициентами были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы их определитель Вронского W(x) не равнялся нулю ни в одной точке данного промежутка (a, b).
7
Только теперь, на заключительном шаге, дать окончательный ответ на поставленный вопрос.Любая совокупность n линейно независимых частных решений уравнения (1) называется фундаментальной системой решений (ФСР) этого уравнения. Кроме того, становится понятно, что непосредственный ответ «как найти» может быть получен с помощью определителя Вронского лишь после ответа на вопрос «Как решить ЛОДУ?».
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500