Совет 1: Как находить ранг матрицы

Рангом матрицы А (rang A или r(A)) называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов. Рассмотрим матрицу А размера 3×4, значит r(A)≤3. С помощью элементарных преобразований, не меняющих ранг матрицы ,приведем матрицу А к ступенчатому виду.
Инструкция
1
Транспортируем матрицу А.
2
Умножим элементы 1-й строки на (-1), сложим ее со 2-й и 3-й строками матрицы. В новой матрице меняем местами 2-ю и 3-ю строки.
3
Умножим элементы 2-й строки на 3 и сложим с элементами 3-й строки.

Получили ступенчатую матрицу размера 3?4, у которой 3 ненулевых элемента на главной диагонали, значит, r(А)=3. Эта матрица имеет ненулевой минор 3-го порядка.

Совет 2: Как вычислить ранг матрицы

Если в любой матрице A взять произвольные k строк и столбцов и составить из элементов этих строк и столбцов подматрицу размера k на k, то такая подматрица называется минором матрицы A. Количество строк и столбцов в наибольшем таком миноре, отличном от нуля, называется рангом матрицы.
Инструкция
1
Для матриц небольшого размера можно вычислить ранг методом перебора всех миноров. В общем случае это затруднительно и удобно пользоваться методом приведения матрицы к треугольному виду. Треугольный вид - такая разновидность матрицы, при которой под главной диагональю матрицы стоят только нулевые элементы. После приведения к треугольному виду достаточно подсчитать количество ненулевых строк или столбцов (смотря чего из них окажется меньше). Это число и будет рангом матрицы.
2
В примере рассматривается прямоугольная матрица размерности 3 на 4. Уже на этом этапе понятно, что ранг не будет выше 3, так как наименьшая из размерностей равна 3.
3
Теперь надо, используя элементарные операции, обнулить первый столбец матрицы, оставив ненулевым только первый элемент в нем. Для этого умножьте первую строку на 2 и вычтите поэлементно из второй строки, результат запишите во вторую строку. Умножьте первую строку на -1 и вычтите из третьей строки, чтобы обнулить первый элемент третьей строки.
4
Осталось обнулить второй элемент третьей строки, чтобы получить нулевые элементы ниже главной диагонали матрицы. Для этого из третьей строки вычтите вторую. В данном случае элемент [3;3] матрицы также стал равным нулю, это случайность, добиваться нулей на главной диагонали специально не нужно.Нулевых строк и столбцов в матрице не появилось, значит ранг матрицы равен 3.
Видео по теме
Обратите внимание
Количества строк и столбцов матрицы называются ее размерностями. Ранг матрицы не может превышать меньшую из ее размерностей.

Элементарные преобразования матрицы позволяют получить матрицу того же ранга, но не равную исходной.
Совет полезен?
Необязательно вычитать строки последовательно. Делайте так, как вам удобнее. Более того, можно проделывать преобразования не со строками, а со столбцами.
Источники:
  • Ранг матрицы. Теорема о ранге. Вычисление ранга матрицы.
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500