Совет 1: Как найти косинус угла

Косинус – одна из основных тригонометрических функций. Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Определение косинуса привязано к прямоугольному треугольнику, но зачастую угол, косинус которого необходимо определить, в прямоугольном треугольнике не расположен. Как найти значение косинуса любого угла?
Инструкция
1
Если необходимо найти косинус угла в прямоугольном треугольнике, необходимо воспользоваться определением косинуса и найти отношение прилежащего катета к гипотенузе:
cos? = a/c, где а – длина катета, с – длина гипотенузы.
2
Если необходимо найти косинус угла в произвольном треугольнике, необходимо воспользоваться теоремой косинусов:
если угол острый: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
если угол тупой: cos? = (с2 – a2 – b2)/(2ab), где а, b – длины сторон прилежащих к углу, с – длина стороны противолежащей углу.
3
Если необходимо найти косинус угла в произвольной геометрической фигуре, необходимо определить величину угла в градусах или радианах, а косинус угла найти по его величине с помощью инженерного калькулятора, таблиц Брадиса или любого другого математического приложения.

Совет 2: Как определить косинус

Косинус - это базовая тригонометрическая функция угла. Умение определять косинус пригодится в векторной алгебре при определении проекций векторов на различные оси.
Инструкция
1
Косинусом угла называют отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе. Значит, в прямоугольном треугольнике ABC (ABC - прямой угол) косинус угла BAC равен отношению AB к AC. Для угла ACB: cos ACB = BC/AC.
Как определить косинус
2
Но не всегда угол принадлежит треугольнику, кроме того бывают тупые углы, которые заведомо не могут быть в составе прямоугольного треугольника. Рассмотрим случай, когда угол задан лучами. Чтобы в этом случае вычислить косинус угла, поступают следующим образом. К углу привязывают систему координат, начало координат считается от вершины угла, ось X идет по одной стороне угла, ось Y строится перпендикулярно оси X. Затем строят окружность единичного радиуса с центром в вершине угла. Вторая сторона угла пересекает окружность в точке A. Опустите перпендикуляр из точки A на ось X, обозначьте точку пересечения перпендикуляра с осью Ax. Тогда получится прямоугольный треугольник AAxO, и косинус угла равен AAx/AO. Поскольку окружность единичного радиуса, то AO = 1 и косинус угла равен просто AAx.
Как определить косинус
3
В случае тупого угла проводят все те же самые построения. Косинус тупого угла отрицательный, но он также равен Ax.
Как определить косинус
Видео по теме
Обратите внимание
Косинусы некоторых углов представлены в таблицах Брадиса.

Совет 3: Как найти косинус

Такие понятия как синус, косинус, тангенс вряд ли кому-то часто встречаются в повседневной жизни. Однако, если вы сели решать математические задачки с сыном-старшеклассником, неплохо было бы вспомнить, что же это за понятия, и как найти, например, косинус.
Инструкция
Видео по теме

Совет 4: Как находить косинус в треугольнике

Нередко в геометрических (тригонометрических) задачах требуется найти косинус угла в треугольнике, потому что косинус угла позволяет однозначно определить величину самого угла.
Инструкция
1
Чтобы найти косинус угла в треугольнике, длины сторон которого известны, можно воспользоваться теоремой косинусов. Согласно этой теореме, квадрат длины стороны произвольного треугольника равняется сумме квадратов двух его других сторон без удвоенного произведения длин этих сторон на косинус угла между ними:

а?=b?+c?-2*b*c*соs?, где:

а, b, с – стороны треугольника (точнее их длины),

? – угол, противоположный стороне а (его величина).

Из приведенного равенства легко находится соs?:

соs?=( b?+c?-а? )/(2*b*c)

Пример 1.

Имеется треугольник со сторонами а, b, с, равными 3, 4, 5 мм, соответственно.

Найти косинус угла, заключенного между большими сторонами.

Решение:

По условию задачи имеем:

а=3,

b=4,

с=5.

Обозначим противоположный стороне а угол через ?, тогда, согласно выведенной выше формуле, имеем:

соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40=32/40=0,8

Ответ: 0,8.
2
Если треугольник прямоугольный, то для нахождения косинуса угла достаточно знать длины всего двух любых сторон (косинус прямого угла равен 0).

Пусть имеется прямоугольный треугольник со сторонами а, b, с, где с – гипотенуза.

Рассмотрим все варианты:

Пример 2.

Найти соs?, если известны длины сторон а и b (катеты треугольника)

Воспользуемся дополнительно теоремой Пифагора:

c?=b?+а?,

с=v(b?+а?)

соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?))=(2*b?)/(2*b*v(b?+а?))=b/v(b?+а?)

Чтобы проверить правильность полученной формулы, подставим в нее значения из примера 1, т.е.

а=3,

b=4.

Проделав элементарные вычисления, получаем:

соs?=0,8.
3
Аналогично находится косинус в прямоугольном треугольнике в остальных случаях:

Пример 3.

Известны а и с (гипотенуза и противолежащий катет), найти соs?

b?=с?-а?,

b=v(c?-а?)

соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?))=(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.

Подставляя значения а=3 и с=5 из первого примера, получаем:

соs?=0,8.
4
Пример 4.

Известны b и с (гипотенуза и прилежащий катет).

Найти соs?

Произведя аналогичные (показанные в примерах 2 и 3 преобразования), получим, что в этом случае косинус в треугольнике вычисляется по очень простой формуле:

соs?=b/с.

Простота выведенной формулы объясняется элементарно: фактически, прилежащий к углу ? катет является проекцией гипотенузы, поэтому его длина равна длине гипотенузы, умноженной на соs?.

Подставляя значения b=4 и с=5 из первого примера, получим:

соs?=0,8

Значит, все наши формулы верны.

Совет 5: Как найти острый угол в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треугольник, вероятно, - одна из самых известных, с исторической точки зрения, геометрических фигур. Пифагоровым "штанам" конкуренцию может составить лишь "Эврика!" Архимеда.
Вам понадобится
  • - чертеж треугольника;
  • - линейка;
  • - транспортир.
Инструкция
1
Как правило, вершины углов треугольника обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), а противоположные им стороны маленькими латинскими буквами (a, b, c) или по названиям вершин треугольника, образующих эту сторону (AC, BC, AB).
2
Сумма углов треугольника составляет 180 градусов. В прямоугольном треугольнике один угол (прямой) всегда будет 90 градусов, а остальные острыми, т.е. меньше 90 градусов каждый. Чтобы определить, какой угол в прямоугольном треугольнике является прямым, измерьте с помощью линейки стороны треугольника и определите наибольшую. Она называется гипотенуза (AB) и располагается напротив прямого угла (C). Остальные две стороны образуют прямой угол и называются катетами (AC, BC).
3
Когда определили, какой угол является острым, вы можете либо измерить величину угла при помощи транспортира, либо рассчитать с помощью математических формул.
4
Чтобы определить величину угла с помощью транспортира, совместите его вершину (обозначим ее буквой А) с специальной отметкой на линейке в центре транспортира, катет АС должен совпадать с ее верхним краем. Отметьте на полукруглой части транспортира точку, через которую проходит гипотенуза AB. Значение в этой точке соответствует величине угла в градусах. Если на транспортире указаны 2 величины, то для острого угла нужно выбирать меньшую, для тупого - большую.
5
Величину угла можно рассчитать, сделав несложные математические вычисления. Вам понадобится знание основ тригонометрии. Если известны длина гипотенузы AB и катета ВС, вычислите значение синуса угла А: sin (A) = BC / AB.
6
Полученное значение найдите в справочных таблицах Брадиса и определите какому углу соответствует полученное числовое значение. Этим методом пользовались наши бабушки.
7
В наше время достаточно взять калькулятор с функцией вычисления тригонометрических формул. Например, встроенный калькулятор Windows. Запустите приложение "Калькулятор", в пункте меню "Вид" выберете пункт "Инженерный". Вычислите синус искомого угла, например, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0.5
8
Переключите калькулятор в режим обратных функций, кликнув по кнопке INV на табло калькулятора, затем кликните по кнопке расчета функции арксинуса (на табло обозначена, как sin в минус первой степени). В окошке расчета появится следующая надпись: asind (0.5) = 30. Т.е. значение искомого угла - 30 градусов.
Источники:
  • Таблицы Брадиса (синусы, косинусы)

Совет 6: Как найти косинус в теореме косинусов

Теорема косинусов в математике чаще всего используется в том случае, когда необходимо найти третью сторону по углу и двум сторонам. Однако, иногда условие задачи поставлено наоборот: требуется найти угол при заданных трех сторонах.
Инструкция
1
Представьте себе, что дан треугольник, у которого известны длины двух сторон и значение одного угла. Все углы этого треугольника не равны друг другу, а его стороны также являются различными по величине. Угол γ лежит напротив стороны треугольника, обозначенной, как AB, которая является основанием этой фигуры. Через данный угол, а также через оставшиеся стороны AC и BC можно найти ту сторону треугольника, которая неизвестна, по теореме косинусов, выведя на ее основе представленную ниже формулу:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, где a=BC, b=AB, c=AC
Теорему косинусов иначе называют обобщенной теоремой Пифагора.
2
Теперь представьте себе, что даны все три стороны фигуры, но при этом ее угол γ неизвестен. Зная, что формула имеет вид a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, преобразуйте данное выражение таким образом, чтобы искомой величиной стал угол γ: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Затем приведите показанное выше уравнение к несколько иному виду: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Затем данное выражение следует преобразовать в представленное ниже: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Осталось подставить в формулу числа и осуществить вычисления.
3
Чтобы найти косинус угла треугольника, обозначенного как γ, его необходимо выразить через обратную тригонометрическую функцию, называемую арккосинусом. Арккосинусом числа m называется такое значение угла γ, для которого косинус угла γ равен m. Функция y=arccos m является убывающей. Представьте себе, например, что косинус угла γ равен одной второй. Тогда угол γ может быть определен через арккосинус следующим образом:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, где m = 1/2.
Аналогичным образом можно найти и остальные углы треугольника при двух других неизвестных его сторонах.
4
В случае, если углы представлены в радианах, переведите их в градусы, используя следующее соотношение:
π радиан = 180 градусов.
Помните, что подавляющее большинство инженерных калькуляторов снабжено возможностью переключения единиц измерения углов.

Совет 7: Как считать косинус

Синус и косинус - две тригонометрические функции, которые называют «прямыми». Именно их приходится вычислять чаще других и для решения этой задачи сегодня каждый из нас имеет немалый выбор вариантов. Ниже приведено несколько наиболее простых способов.
Инструкция
1
Используйте транспортир, карандаш и лист бумаги, если других средств вычисления нет под рукой. Одно из определений косинуса дается через острые углы в прямоугольном треугольнике - его значение равно соотношению между длиной катета, лежащего напротив этого угла и длиной гипотенузы. Нарисуйте треугольник, в котором один из углов будет прямым (90°), а другой равен углу, косинус которого требуется вычислить. Длина сторон при этом не имеет значения - нарисуйте их такими, которые вам удобнее измерять. Измерьте длину нужного катета и гипотенузы и разделите первое на второе любым удобным способом.
2
Воспользуйтесь возможностью определять значения тригонометрических функций с помощью калькулятора, встроенного в поисковую систему Nigma, если у вас есть доступ в интернет. Например, если требуется вычислить косинус угла в 20°, то загрузив главную страницу сервиса http://nigma.ru наберите в поле поискового запроса «косинус 20 градусов» и нажмите кнопку «Найти!». Можно слово «градусов» опустить, а слово «косинус» заменить на cos - в любом случае поисковик покажет результат с точностью до 15 знаков после запятой (0,939692620785908).
3
Откройте стандартную программу-калькулятор, устанавливаемую вместе с операционной системой Windows, если нет доступа к интернету. Сделать это можно, например, одновременно нажав клавиши win и r, затем введя команду calc и щелкнув по кнопке OK. Для вычисления тригонометрических функций здесь предназначен интерфейс, с названием «инженерный» или «научный» (в зависимости от версии ОС) - выберите нужный пункт в разделе «Вид» меню калькулятора. После этого введите величину угла в градусах и щелкните по кнопке cos в интерфейсе программы.
Видео по теме

Совет 8: Как определить углы в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треугольник характеризуется определенными соотношениями между углами и сторонами. Зная значения одних из них, можно вычислять другие. Для этого используются формулы, основанные, в свою очередь, на аксиомах и теоремах геометрии.
Инструкция
1
Из самого названия прямоугольного треугольника понятно, что один из его углов является прямым. Независимо от того, является прямоугольный треугольник равнобедренным или нет, в нем всегда имеется один угол, равный 90 градусам. Если дан прямоугольный треугольник, являющийся одновременно и равнобедренным, то, исходя из того, что в фигуре имеется прямой угол, найдите два угла при его основании. Эти углы равны между собой, поэтому каждый из них имеет значение, равное:

α=180°- 90°/2=45°
2
Кроме рассмотренного выше, возможен также другой случай, когда треугольник является прямоугольным, но не является равнобедренным. Во многих задачах угол треугольника равен 30°, а другой 60°, поскольку сумма всех углов в треугольнике должна быть равной 180°. Если дана гипотенуза прямоугольного треугольника и его катет, то угол можно найти из соответствия этих двух сторон:

sin α=a/c, где a - катет, противолежащий к гипотенузе треугольника, с - гипотенуза треугольника

Соответственно, α=arcsin(a/c)

Также угол можно найти и по формуле нахождения косинуса:

cos α=b/c, где b - прилежащий катет к гипотенузе треугольника
3
Если известны только два катета, то угол α можно найти по формуле тангенса. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

tg α=a/b

Из этого следует, что α=arctg(a/b)

Когда даны прямой угол и один из углов, найденных вышеуказанным способом, второй находится следующим образом:

ß=180°-(90°+α)
Источники:
  • измерить угол треугольника

Совет 9: Как найти косинус альфа

Словом «косинус» называют одну из тригонометрических функций, которая при написании обозначается как cos. Наиболее часто иметь с ней дело приходится при решении задач на нахождение параметров правильных фигур в геометрии. В таких задачах величины углов в вершинах многоугольников обозначаются, как правило, прописными буквами греческого алфавита. Если речь при этом идет о прямоугольном треугольнике, то по одной этой букве иногда можно выяснить, который из углов имеется в виду.
Инструкция
1
Если величина угла, обозначенная буквой α, известна из условий задачи, то для нахождения значения, соответствующего косинусу альфа, можно воспользоваться стандартным калькулятором ОС Windows. Запускается он через главное меню операционной системы - нажмите кнопку Win, раскройте в меню раздел «Все программы», перейдите в подраздел «Стандартные», а затем в секцию «Служебные». Там и найдете строку «Калькулятор» - кликните ее для запуска приложения.
2
Нажмите сочетание клавиш Alt + 2, чтобы переключить интерфейс приложения в «инженерный» (в других версиях ОС - «научный») вариант. Затем введите величину угла α и щелкните указателем мыши кнопку, обозначенную буквами cos - калькулятор произведет вычисление функции и отобразит результат.
3
Если вычислить косинус угла α нужно в прямоугольном треугольнике, то, по-видимому, это один из двух острых углов. При правильном обозначении сторон такого треугольника гипотенузу (самую длинную сторону) обозначают буквой c, а лежащий напротив нее прямой угол - греческой буквой γ. Две другие стороны (катеты) обозначают буквами a и b, а лежащие напротив них острые углы - α и β. Для величин острых углов прямоугольного треугольника существуют соотношения, которые позволят вычислять косинус, даже не зная величины самого угла.
4
Если в прямоугольном треугольнике известны длины сторон b (катета, прилежащего к углу α) и c (гипотенузы), то для вычисления косинуса α поделите длину этого катета на длину гипотенузы: cos(α)=b/c.
5
В произвольном треугольнике значение косинуса угла α неизвестной величины можно вычислить, если в условиях даны длины всех сторон. Для этого сначала возведите в квадрат длины всех сторон, потом полученные значения для двух сторон, прилежащих к углу α сложите, а полученное значение для противолежащей стороны отнимите от результата. Затем полученную величину разделите на удвоенное произведение длин прилегающих к углу α сторон - это и будет искомый косинус угла α: cos(α)=(b²+c²-a²)/(2*b*c). Это решение вытекает из теоремы косинусов.
Источники:
  • найдите синус альфа если косинус
Полезный совет
Математическое обозначение косинуса – cos.
Значение косинуса не может быть больше 1 и меньше -1.
Источники:
  • как вычислить косинус угла
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500