Совет 1: Как найти высоту пирамиды

Любое геометрическое тело может быть интересно не только школьнику. В окружающем мире довольно часто встречаются предметы в форме пирамиды. И это не только знаменитые египетские гробницы. Часто говорят о целебных свойствах пирамиды, и кому-то наверняка захочется испытать их на себе. Но для этого надо знать ее размеры, в том числе высоту.
Вам понадобится
  • Математические формулы и понятия:
  • Определение высоты пирамиды
  • Признаки подобия треугольников
  • Свойства высоты треугольника
  • Теорема синусов и косинусов
  • Таблицы синусов и косинусов
  • Инструменты:
  • линейка
  • карандаш
  • транспортир
Инструкция
1
Вспомните, что такое высота пирамиды. Это есть перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды к ее основанию.
Пирамида с необходимыми обозначениями
2
Постройте пирамиду по заданным параметрам. Обозначьте ее основание латинскими буквами А, B, C,D... в зависимости от количества углов. Вершину пирамиды обозначьте S.
3
Вам известны стороны, углы основания и наклона ребер к основанию. Чертеж получится в проекции на плоскости, поэтому для верности обозначьте на нем известные вам данные. Из точки S опустите высоту пирамиды и обозначьте ее h. Точку пересечения высоты с основанием пирамиды обознчьте S1.
4
Из вершины пирамиды проведите высоту любой боковой грани. Обозначьте точку ее пересечения с основанием, например, А1. Вспомните свойства высоты остроугольного треугольника. Она делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника. Вычислите косинусы нужных вам углов по формуле

Cos(A) = (b2+c2-a2)/(2*b*c), где а,b и с - стороны треугольника, в данном случае АSB (a=BA,b=AS,c=AB).

Вычислите высоту боковой грани SA1 по косинусу угла АSA1, равного углу SBA из свойств высоты треугольника, и известному боковому ребру AS.
5
Соедините точки А1 и S1. У вас получился прямоугольный треугольник, в котором вам известна гипотенуза SA1 и угол наклона боковой грани пирамиды к ее основанию SA1S1. По теореме синусов вычислите катет SS1, который одновременно является и высотой пирамиды.

Совет 2: Как рассчитать высоту правильной пирамиды

Форму многогранников, в том числе, и пирамиды, имеют многие реальные объекты, например, знаменитые пирамиды Египта. Данная геометрическая фигура имеет несколько параметров, основным из которых является высота.
Инструкция
1
Определите, является ли пирамида, высоту которой вам необходимо найти по условиям задачи, правильной. Таковой считается пирамида, у которой основанием является любой правильный многоугольник (имеющий равные стороны), а высота падает в центр основания.
2
Первый случай возникает, если в основании пирамиды лежит квадрат. Проведите высоту, перпендикулярную плоскости основания. В результате этого, внутри пирамиды получится прямоугольный треугольник. Его гипотенуза является ребром пирамиды, а больший катет - ее высотой. Меньший катет этого треугольника проходит через диагональ квадрата и численно равен ее половине. Если дан угол между ребром и плоскостью основания пирамиды, а также одна из сторон квадрата, то высоту пирамиды в этом случае найдите, используя свойства квадрата и теорему Пифагора. Катет равен половине диагонали. Поскольку сторона квадрата равна a, и при этом, диагональ равна a√2, найдите гипотенузу треугольника следующим образом:x=a√2/2cosα
3
Соответственно, зная гипотенузу и меньший катет треугольника, по теореме Пифагора выведите формулу для нахождения высоты пирамиды: H=√[(a√2)/2cosα]^2-[(a√2/2)^2]=√[a^2/2*(1-cos^2α)/√cos^2α]=a*tgα/√2, где [(1-cos^2α)/cos^2α =tg^2α]
4
Если в основании пирамиды имеется правильный треугольник, то ее высота будет образовывать с ребром пирамиды прямоугольный треугольник. Меньший катет проходит через высоту основания. В правильном треугольнике высота одновременно является и медианой.Из свойств правильного треугольника известно, что меньший его катет равен a√3/3. Зная угол между ребром пирамиды и плоскостью основания, найдите гипотенузу (она же является ребром пирамиды). Высоту пирамиды определите по теореме Пифагора:H=√(a√3/3cosα)^2-(a√3/3)^2=a*tgα/√3
5
У некоторых пирамид основанием является пяти- или шестиугольник. Такая пирамида также считается правильной, если все стороны ее основания равны. Так, например, высоту пятиугольника находите следующим образом: h=√5+2√5a/2, где a - сторона пятиугольникаЭтим свойством воспользуйтесь для нахождения ребра пирамиды, а затем и ее высоты. Меньший катет равен половине этой высоты: k=√5+2√5a/4
6
Соответственно, гипотенузу прямоугольного треугольника найдите следующим образом:k/cosα=√5+2√5a/4cosαДалее, как и в предыдущих случаях, высоту пирамиды найдите по теореме Пифагора:H=√[(√5+2√5a/4cosα)^2-(√5+2√5a/4)^2]
Видео по теме
Видео по теме
Обратите внимание
Для вычисления высоты любой пирамиды необходимо сначала вычислить один из боковых треугольников.

В правильной пирамиде высота боковой грани называется апофемой и делит сторону основания пирамиды пополам.
Полезный совет
В правильной пирамиде все стороны наклонены к основанию под одним и тем же углом, поэтому высоту пирамиды можно вычислить и без построения дополнительных треугольников.

Высота боковой грани делит ее на 2 подобных прямоугольных треугольника. Соответственно, угол SAB равен углу А1SB.
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500