Совет 1: Как решать системы линейных уравнений

Система линейных уравнений содержит уравнения, в которых все неизвестные содержатся в первой степени. Есть несколько способов решения такой системы.
Инструкция
1
Метод подстановки или последовательного исключения.Подстановку используют в системе с небольшим количеством неизвестных. Это простейший метод решения для несложных систем. Сначала из первого уравнения выражаем одно неизвестное через другие, подставляем это выражение во второе уравнение. Выражаем из преображенного второго уравнения второе неизвестное, подставляем полученное в третье уравнение и т.д. до тех пор, пока не вычислим последнее неизвестное. Затем подставляем его значение в предыдущее уравнение и узнаем предпоследнее неизвестное и т.д. Рассмотрим пример системы с двумя неизвестными.x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
Выразим из первого уравнения x: x = 3 - y. Подставим во второе уравнение: 2(3 - y) - y - 3 = 0
6 - 2y - y - 3 = 0
3 - 3y = 0
y = 1
Подставляем в первое уравнение системы (или в выражение для x, что одно и то же): x + 1 - 3 = 0. Получим, что x = 2.
2
Метод почленного вычитания (или сложения).Этот метод часто позволяет сократить время решения системы и упростить вычисления. Состоит он в том, чтобы проанализировав коэффициенты при неизвестных таким образом сложить (или вычесть) уравнения системы, чтобы исключить часть неизвестных из уравнения. Рассмотрим пример, возьмем ту же систему, что и в первом методе.
x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
Легко видеть, что при y стоят одинаковые по модулю коэффициенты, но с разным знаком, поэтому если мы сложим два уравнения почленно, то yдастся исключить y. Выполним сложение: x + 2x + y - y - 3 - 3 = 0 или 3x - 6 = 0. Таким образом, x = 2. Подставив это значение в любое уравнение, найдем y.
Можно, наоборот, исключить x. Коэффициенты при x одинаковы по знаку, поэтому будем вычитать одно уравнение из другого. Но в первом уравнении коэффициент при x - 1, а во втором - 2, поэтому просто вычитанием не удастся исключить x. Умножим первое уравнение на 2, получим такую систему:
2x + 2y - 6 = 0
2x - y - 3 = 0
Теперь почленно вычтем из первого уравнения второе: 2x - 2x + 2y - (-y) - 6 - (-3) = 0 или, приведя подобные, 3y - 3 = 0. Таким образом y = 1. Подставив в любое уравнение, найдем x.

Совет 2: Как решить систему линейных уравнений

Заданный вопрос полностью покрывает основную цель целого курса «Линейная алгебра». Поэтому ответ можно дать только в сжатом виде, без подробных выкладок и пояснений. В целом же линейные уравнения интересны тем, что решать их возможно чисто алгоритмическими методами.
Инструкция
1
Система т линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет вид (см. рис. 1).
В ней аij – коэффициенты системы, хj – неизвестные, bi – свободные члены (i=1, 2, ... , т; j=1, 2, ... , п). Практический смысл такая система имеет в том случае, когда число ее уравнений не превышает число неизвестных, то есть при m≤n. Дело в том, что в противном случае «лишние» уравнения должны являться линейной комбинацией остальных. Это означает, что они их просто повторяют. Если нет, то и решение не существует (система не совместна).
Как решить систему линейных уравнений
2
Компактно такую систему можно записывать в матричной форме АХ=B. Здесь А – матрица коэффициентов системы, Х – матрица- столбец неизвестных, B – матрица-столбец свободных членов (см. рис 2). Если m=n, т.е. есть количество неизвестных и число уравнений одинаково, то матрица А квадратная. Потому для нее определено понятие определителя матрицы ∆=|A|. При |A|≠0 существует обратная матрица A⁻¹. Ее определение базируется на равенстве АA⁻¹= A⁻¹A=E (E – единичная матрица). Формула для вычисления обратной матрицы также присутствует на рисунке 2. Следует лишь добавить, что элементы Aij присоединенной матрицы Ã, называемые алгебраическими дополнениями элементов aij матрицы А вычисляются следующим образом. Возьмите определитель |A|и вычеркните из него строку и столбец, на котором находится элемент aij. Оставшиеся коэффициенты запишите в виде нового определителя, который умножьте на (-1), если i+j не четно. Соответствующее число равно Aij. Алгебраические дополнения записываются по столбцам присоединенной матрицы.
Как решить систему линейных уравнений
3
Найдите решение системы матричным способом. Для этого обе части системы AX=B умножьте на A⁻¹ слева. Получите (A⁻¹A)X=A⁻¹B, EX=A⁻¹B или X=A⁻¹B. Все подробности проиллюстрированы на рис. 3. На этом же рисунке приведена формула вычисления определителя коэффициентов Разложением по i-му столбцу А. Упомянутые подробности приводят к выводу о том, что при решении систем большой размерности матричным способом лучше не пользоваться. Можно просто «утонуть» в вычислениях громадного числа алгебраических дополнений (если не создавать соответствующие программы). Оправдан это метод, пожалуй, лишь для систем второго порядка, так как для определителя этого порядка А₁₁=а₂₂, А₁₂=-а₂₁, А₂₁=-а₁₂, А₂₂=а₁₁. Это легко запомнить. А вот далее… В прочем, это уже на любителя.
Как решить систему линейных уравнений
4
Настала пора самого, пожалуй, известного и предельно простого метода Крамера. Присмотритесь повнимательнее к выражению для определения неизвестной xi на предыдущем шаге. Что получится, если вместо элементов столбца B, поставить элементы i-го столбца матрицы коэффициентов А (для наглядности это было отображено на рисунке 3). Получится теорема разложения для вычисления определителя |A|=∆ по i-му столбцу матрицы А. Поэтому xi =∆i/∆. Определитель ∆ матрицы коэффициентов называют главным, а ∆i вспомогательным. Для каждой неизвестной вспомогательный определитель находят с помощью замены i-го столбца главного определителя на столбец свободных членов. Подробно метод Крамера для случая системы третьего порядка представлен на рисунке 4.
Как решить систему линейных уравнений
5
Наиболее общим способом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Здесь число уравнений может быть и меньшим числа неизвестных, m≤n. Метод уже был детально описан в тематике КакProsto.ru. Для того, чтобы обратиться к нему, используйте первый источник из дополнительных сведений.
Источники:
  • Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. для вузов. - 3-е изд., стер. - М.: Высш. школа, 1996. - 496 с.: ил.
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500