Совет 1: Как найти обратную матрицу

Нахождение обратной матрицы требует навыков обращения с матрицами, в частности, умения вычислять определитель и транспонировать.
Инструкция
1
Обратная матрица находится из элементов исходной по формуле: A^-1 = A*/detA, где A* - присоединенная матрица, detA - определитель исходной матрицы. Присоединенная матрица - это транспонированная матрица дополнений к элементам исходной матрицы.
2
Первым делом найдите определитель матрицы, он должен быть отличен от нуля, так как дальше определитель будет использоваться в качестве делителя. Пусть для примера дана квадратная матрица третьего порядка (состоящая из трех строк и трех столбцов). Как видно, определитель нашей матрицы не равен нулю, поэтому существует обратная матрица.
Как найти обратную <strong>матрицу</strong>
3
Найдите дополнения к каждому элементу матрицы A. Дополнением к A[i,j] называется определитель подматрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца, причем этот определитель берется со знаком. Знак определяется умножением определителя на (-1) в степени i+j. Таким образом, например, дополнением к A[2,1] будет определитель, рассмотренный на рисунке. Знак получился так: (-1)^(2+1) = -1.
Как найти обратную <strong>матрицу</strong>
4
В результате вы получите матрицу дополнений, теперь транспонируйте ее. Транспонирование - это операция, симметричная относительно главной диагонали матрицы, столбцы и строки меняются местами. Таким образом, вы нашли присоединенную матрицу A*.
Как найти обратную <strong>матрицу</strong>
5
Теперь каждый элемент делите на определитель исходной матрицы и получите матрицу обратную исходной.
Как найти обратную <strong>матрицу</strong>

Совет 2: Как получить обратную матрицу

Для каждой невырожденной (с определителем |A|, не равном нулю) квадратной матрицы А существует единственная обратная матрица, обозначаемая А^(-1), такая, что (А^(-1))А=А, А^(-1)=Е.
Инструкция
1
Е называется единичной матрицей. Она состоит из единиц на главной диагонали – остальное нули. Вычисляется А^(-1) следующим образом (см. рис.1.).Здесь А(ij) – алгебраическое дополнение элемента а(ij) определителя матрицы А. А(ij) получают удалением из |A| строки и столбца, на пересечении которых лежит а(ij), и умножением вновь полученного определителя на (-1)^(i+j).Фактически присоединенная матрица – это транспонированная матрица из алгебраических дополнений элементов А. Транспонирование – это замена столбцов матрицы на строки (и наоборот). Tранспонированная матрица обозначается А^T.
2
Самыми простыми являются матрицы размера 2х2. Здесь любое алгебраическое дополнение - просто противоположный по диагонали элемент, взятый со знаком «+», если сумма индексов его номера четна, и со знаком «-», если нечетна. Таким образом, чтобы записать обратную матрицу, на главной диагонали исходной матрицы, требуется поменять местами ее элементы, а на побочной диагонали - оставить их на месте, но изменить знак, а затем все поделить на |A|.
3
Пример 1. Найти обратную матрицу A^(-1), представленную на рисунке 2.
4
Определитель этой матрицы не равен нулю (|A|=6) (по правилу Саррюса, оно же правило треугольников). Это существенно, так как А не должна быть вырожденной. Далее находим алгебраические дополнения матрицы А и присоединенную матрицу для А (см. рис. 3).
5
При большей размерности процесс вычисления обратной матрицы становится слишком громоздким. Поэтому в таких случаях следует прибегать к помощи специализированных компьютерных программ.
Видео по теме
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500