Совет 1: Как считать матрицы

Понятие «матрица» известно из курса линейной алгебры. Прежде чем описать допустимые операции над матрицами, необходимо ввести её определение. Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Если m = n, то матрица называется квадратной. Матрицы обычно обозначают большими латинскими буквами, например A, или A = (aij), где (aij) – элемент матрицы, i – номер строки, j – номер столбца. Пусть даны две матрицы A = (aij) и B = (bij) имеющие одинаковую размерность m*n.
Инструкция
1
Суммой матриц A = (aij) и B = (bij) называется матрица C = (cij) такой же размерности , где ее элементы cij определяются равенством cij = aij + bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2 …, n).
Сложение матриц обладает следующими свойствами:
1. A + B = B + A
2. (A + B) + C = A + (B + C)
Как считать матрицы
2
Произведением матрицы A = (aij) на действительное число ? называется матрица C = (cij), где ее элементы cij определяются равенством cij = ? * aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2 …, n).
Умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:
1. (??)A = ?(?A), ? и ? – действительные числа,
2. ?(А + В) = ?А + ?В, ? – действительное число,
3. (? + ?)В = ?В + ?В, ? и ? – действительные числа.
Введя операцию умножения матрицы на скаляр, можно ввести операцию вычитания матриц. Разностью матриц A и B будет матрица C, которую можно вычислить по правилу:
C = A + (-1)*B
3
Произведение матриц. Матрицу A можно умножить на матрицу B, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.
Произведением матрицы A = (aij) размерности m*n на матрицу B = (bij) размерности n*p называется матрица C = (cij) размерности m*p, где её элементы cij определяются по формуле cij = ai1*b1j + ai2*b2j + … + ain*bnj (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2 …, p).
На рисунке приведён пример произведения матриц размерности 2*2.
Произведение матриц обладает следующими свойствами:
1. (A * B) * C = A * (B * C)
2. (A + B) * C = A*C + B*C или A * (B + C) = A*B + A*C
Как считать матрицы

Совет 2: Как считать обратную матрицу

Матрица В считается обратной для матрицы А, если при их умножении образуется единичная матрица Е. Понятие «обратной матрицы» существует только для квадратной матрицы, т.е. матрицы «два на два», «три на три» и т.д. Обратная матрица обозначается надстрочным индексом «-1».
Инструкция
1
Для того чтобы найти обратную матрицу, воспользуйтесь формулой:
А^(-1) = 1/|А| х А^т, где
|А| - определитель матрицы А,
А^т – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А.
2
Прежде чем приступить к нахождению обратной матрицы, вычислите определитель. Для матрицы «два на два» определитель рассчитывается следующим образом: |А| = а11а22-а12а21. Определитель для любой квадратной матрицы можно определить по формуле: |А| = Σ(-1)^(1+j) х а1j х Мj, где Мj – дополнительный минор к элементу а1j. Например, для матрицы «два на два» с элементами по первой строке а11=1, а12=2, по второй строке а21=3, а22=4 будет равен |А| = 1х4-2х3 = -2. Учтите, что если определитель заданной матрицы равен нулю, то обратной матрицы для нее не существует.
3
Затем найдите матрицу миноров. Для этого мысленно вычеркните столбец и строку, в которой находится рассматриваемый элемент. Оставшееся число будет являться минором данного элемента, его следует записать в матрицу миноров. В рассматриваемом примере минором для элемента а11=1 будет М11=4, для а12=2 – М12=3, для а21=3 – М21=2, для а22=4 – М22=1.
4
Далее найдите матрицу алгебраических дополнений. Для этого поменяйте знак и элементов, находящихся по диагонали: а12 и а 21. Таким образом, элементы матрицы будут равны: а11=4, а12=-3, а21=-2, а22=1.
5
После этого найдите транспонированную матрицу алгебраических дополнений А^т. Для этого строки матрицы алгебраических дополнений запишите в столбцы транспонированной матрицы. В рассматриваемом примере транспонированная матрица будет иметь следующие элементы: а11=4, а12=-2, а21=-3,а22=1.
6
Затем подставьте полученные значения в исходную формулу. Обратная матрица А^(-1) будет равна произведению -1/2 на элементы а11=4, а12=-2, а21=-3,а22=1. Иными словами элементы обратной матрицы будут равны: а11=-2, а12=1, а21=1,5, а22=-0,5.
Видео по теме
Источники:
  • матрица считать
Поиск
Совет полезен?
Добавить комментарий к статье
Осталось символов: 500