Как доказать, что точка не лежит в плоскости треугольника

Доказать, что точка не лежит в плоскости треугольника, можно простой проверкой всех возможных ситуаций, тем более что их не много. Не следует только забывать, что можно придти и к событию противоположному, то есть случаю, когда точка является внутренней для заданного треугольника.

Инструкция

1. Прежде чем искать решение поставленной задачи, читателю следует самому принять решение о принадлежности сторон треугольника. Считать их точки внешними для треугольника или нет. На данной стадии считаем, что это область замкнутая, а поэтому она включает свои границы. Для простоты рассмотрите «плоский случай», но не забывайте и о пространственном обобщении. Поэтому типовые уравнения для прямых плоскости вида y=kx+b, использовать не следует, по крайне мере в начале решения.
2. Выберите способ задания для сторон треугольника. Судя по постановке задачи, это не имеет принципиального значения. Поэтому считайте, что даны координаты его вершин A(xa, ya), B(xb, yb), C(xc, yc) (см. рис. 1.). Найдите направляющие векторы сторон треугольника AB={xb-xa, yb-ya}, BC={xc-xb, yc-yb}, AC={xc-xa, yc-ya} и запишите канонические уравнения прямых, содержащих эти стороны. Для AB – (x-xa)/(xb-xa)=(y-ya)/(yb-ya). Для BС – (x-xb)/(xc-xb)=(y-yb)/(yc-ya). Для AС – (x-xa)/(xc-xa)=(y-ya)/(yc-ya). В соответствии с рисунком проведите горизонтальные и вертикальные линии, которые можно записать как x=xc, x= xa, x=xb, y=yc, y=ya, y=yb. Это позволит до минимума сократить число вычислений. Далее следуйте предложенному алгоритму. На рисунке заданная точка М(xo,yo) размещена в самом «неблагоприятном» месте.
   
3. Следуя вдоль оси 0х, проверьте выполнение неравенства xc≤xo≤хb. Если оно не выполнено, то точка уже лежит вне пределов треугольника, так как «не внутри» - это и есть «снаружи». Если же неравенство выполнено, то далее проверьте справедливость xc
4. Проверьте выполнение неравенства уc≤уo≤уа. Если оно не справедливо, то точка не лежит внутри треугольника. В противном случае найдите ординату прямой, содержащей АB. у1=y(xo)=[(yb-ya)(xo-xa)]/(xb-xa)+ya. Также поступите с ординатой прямой для BC.
   у2=у(хо)=[(yс-yb)(xo-xb)]/(xc-xb)+yc. Составьте неравенство y2≤yo≤y1. Его выполнение позволяет сделать заключение о том, что заданная точка находится внутри треугольника. Если же это неравенство ложно, то она лежит вне его пределов, в частности в соответствии с рисунком.